Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25428 / 24402
↖ ↑ ↗
← S 65.739656°
E 99.360352°		 ← 501.95 m → S 65.739656°
E 99.371338°		 →
↑
501.91 m
↓
↑
501.91 m
↓
S 65.744170°
E 99.360352°		 ← 501.86 m →
251 911 m²		 S 65.744170°
E 99.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776016235351562 y=0.744705200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776016235351562 × 215)
    floor (0.776016235351562 × 32768)
    floor (25428.5)     		tx = 25428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744705200195312 × 215)
    floor (0.744705200195312 × 32768)
    floor (24402.5)     		ty = 24402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25428 / 24402 ti = "15/25428/24402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25428/24402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25428 ÷ 215
    25428 ÷ 32768     		x = 0.7760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24402 ÷ 215
    24402 ÷ 32768     		y = 0.74468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7760009765625 × 2 - 1) × π
    0.552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73416528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.4893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53743224461444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73416528} λ = 1.73416528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53743224461444))-π/2
    2×atan(0.214932287006752)-π/2
    2×0.211711437866167-π/2
    0.423422875732334-1.57079632675     		φ = -1.14737345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73416528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.360352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14737345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.739656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25428 KachelY 24402 1.73416528 -1.14737345 99.360352 -65.739656
    Oben rechts KachelX + 1 25429 KachelY 24402 1.73435703 -1.14737345 99.371338 -65.739656
    Unten links KachelX 25428 KachelY + 1 24403 1.73416528 -1.14745223 99.360352 -65.744170
    Unten rechts KachelX + 1 25429 KachelY + 1 24403 1.73435703 -1.14745223 99.371338 -65.744170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14737345--1.14745223) × R
    7.8780000000167e-05 × 6371000     		dl = 501.907380001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14737345--1.14745223) × R
    7.8780000000167e-05 × 6371000     		dr = 501.907380001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73416528-1.73435703) × cos(-1.14737345) × R
    0.000191749999999935 × 0.41088344922631 × 6371000     		do = 501.951348750072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73416528-1.73435703) × cos(-1.14745223) × R
    0.000191749999999935 × 0.410811625180141 × 6371000     		du = 501.863605676178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14737345)-sin(-1.14745223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41088344922631-0.410811625180141)×R²
    abs(1.73435703-1.73416528)×7.18240461693442e-05×R²
    0.000191749999999935×7.18240461693442e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.18240461693442e-05×40589641000000     		ar = 251911.067021778m²