Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25421 / 24389
↖ ↑ ↗
← S 65.680906°
E 99.283447°		 ← 503.09 m → S 65.680906°
E 99.294434°		 →
↑
503.05 m
↓
↑
503.05 m
↓
S 65.685430°
E 99.283447°		 ← 503.01 m →
253 061 m²		 S 65.685430°
E 99.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775802612304688 y=0.744308471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775802612304688 × 215)
    floor (0.775802612304688 × 32768)
    floor (25421.5)     		tx = 25421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744308471679688 × 215)
    floor (0.744308471679688 × 32768)
    floor (24389.5)     		ty = 24389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25421 / 24389 ti = "15/25421/24389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25421/24389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25421 ÷ 215
    25421 ÷ 32768     		x = 0.775787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24389 ÷ 215
    24389 ÷ 32768     		y = 0.744293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775787353515625 × 2 - 1) × π
    0.55157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73282305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.48858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73282305} λ = 1.73282305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5349395258342))-π/2
    2×atan(0.215468721066915)-π/2
    2×0.212224128565505-π/2
    0.424448257131011-1.57079632675     		φ = -1.14634807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73282305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14634807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.680906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25421 KachelY 24389 1.73282305 -1.14634807 99.283447 -65.680906
    Oben rechts KachelX + 1 25422 KachelY 24389 1.73301480 -1.14634807 99.294434 -65.680906
    Unten links KachelX 25421 KachelY + 1 24390 1.73282305 -1.14642703 99.283447 -65.685430
    Unten rechts KachelX + 1 25422 KachelY + 1 24390 1.73301480 -1.14642703 99.294434 -65.685430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14634807--1.14642703) × R
    7.89599999999613e-05 × 6371000     		dl = 503.054159999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14634807--1.14642703) × R
    7.89599999999613e-05 × 6371000     		dr = 503.054159999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73282305-1.73301480) × cos(-1.14634807) × R
    0.000191750000000157 × 0.411818059578974 × 6371000     		do = 503.093105440925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73282305-1.73301480) × cos(-1.14642703) × R
    0.000191750000000157 × 0.411746104724847 × 6371000     		du = 503.005202566896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14634807)-sin(-1.14642703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411818059578974-0.411746104724847)×R²
    abs(1.73301480-1.73282305)×7.19548541263659e-05×R²
    0.000191750000000157×7.19548541263659e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.19548541263659e-05×40589641000000     		ar = 253060.969737544m²