Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25418 / 24258
↖ ↑ ↗
← S 65.081390°
E 99.250488°		 ← 514.71 m → S 65.081390°
E 99.261474°		 →
↑
514.65 m
↓
↑
514.65 m
↓
S 65.086018°
E 99.250488°		 ← 514.62 m →
264 874 m²		 S 65.086018°
E 99.261474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775711059570312 y=0.740310668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775711059570312 × 215)
    floor (0.775711059570312 × 32768)
    floor (25418.5)     		tx = 25418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740310668945312 × 215)
    floor (0.740310668945312 × 32768)
    floor (24258.5)     		ty = 24258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25418 / 24258 ti = "15/25418/24258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25418/24258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25418 ÷ 215
    25418 ÷ 32768     		x = 0.77569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24258 ÷ 215
    24258 ÷ 32768     		y = 0.74029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77569580078125 × 2 - 1) × π
    0.5513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73224780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73224780} λ = 1.73224780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50982059043329))-π/2
    2×atan(0.220949614878321)-π/2
    2×0.217455899621429-π/2
    0.434911799242859-1.57079632675     		φ = -1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73224780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25418 KachelY 24258 1.73224780 -1.13588453 99.250488 -65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 25419 KachelY 24258 1.73243955 -1.13588453 99.261474 -65.081390
    Unten links KachelX 25418 KachelY + 1 24259 1.73224780 -1.13596531 99.250488 -65.086018
    Unten rechts KachelX + 1 25419 KachelY + 1 24259 1.73243955 -1.13596531 99.261474 -65.086018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13588453--1.13596531) × R
    8.07800000000025e-05 × 6371000     		dl = 514.649380000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13588453--1.13596531) × R
    8.07800000000025e-05 × 6371000     		dr = 514.649380000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73224780-1.73243955) × cos(-1.13588453) × R
    0.000191750000000157 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 514.713767153921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73224780-1.73243955) × cos(-1.13596531) × R
    0.000191750000000157 × 0.421257149544262 × 6371000     		du = 514.624268226812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13588453)-sin(-1.13596531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.421257149544262)×R²
    abs(1.73243955-1.73224780)×7.3261338901065e-05×R²
    0.000191750000000157×7.3261338901065e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.3261338901065e-05×40589641000000     		ar = 264874.09100342m²