Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25417 / 24335
↖ ↑ ↗
← S 65.435435°
E 99.239502°		 ← 507.83 m → S 65.435435°
E 99.250488°		 →
↑
507.77 m
↓
↑
507.77 m
↓
S 65.440002°
E 99.239502°		 ← 507.74 m →
257 838 m²		 S 65.440002°
E 99.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775680541992188 y=0.742660522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775680541992188 × 215)
    floor (0.775680541992188 × 32768)
    floor (25417.5)     		tx = 25417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742660522460938 × 215)
    floor (0.742660522460938 × 32768)
    floor (24335.5)     		ty = 24335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25417 / 24335 ti = "15/25417/24335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25417/24335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25417 ÷ 215
    25417 ÷ 32768     		x = 0.775665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24335 ÷ 215
    24335 ÷ 32768     		y = 0.742645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775665283203125 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73205606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.48529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52458515551627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73205606} λ = 1.73205606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52458515551627))-π/2
    2×atan(0.217711354488658)-π/2
    2×0.214366270697146-π/2
    0.428732541394291-1.57079632675     		φ = -1.14206379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73205606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14206379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.435435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25417 KachelY 24335 1.73205606 -1.14206379 99.239502 -65.435435
    Oben rechts KachelX + 1 25418 KachelY 24335 1.73224780 -1.14206379 99.250488 -65.435435
    Unten links KachelX 25417 KachelY + 1 24336 1.73205606 -1.14214349 99.239502 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 25418 KachelY + 1 24336 1.73224780 -1.14214349 99.250488 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14206379--1.14214349) × R
    7.97000000001269e-05 × 6371000     		dl = 507.768700000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14206379--1.14214349) × R
    7.97000000001269e-05 × 6371000     		dr = 507.768700000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73205606-1.73224780) × cos(-1.14206379) × R
    0.000191739999999996 × 0.415718387251551 × 6371000     		do = 507.831413394731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73205606-1.73224780) × cos(-1.14214349) × R
    0.000191739999999996 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 507.742863896284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14206379)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415718387251551-0.415645899308277)×R²
    abs(1.73224780-1.73205606)×7.24879432735248e-05×R²
    0.000191739999999996×7.24879432735248e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.24879432735248e-05×40589641000000     		ar = 257838.415403744m²