Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25417 / 24332
↖ ↑ ↗
← S 65.421729°
E 99.239502°		 ← 508.10 m → S 65.421729°
E 99.250488°		 →
↑
508.09 m
↓
↑
508.09 m
↓
S 65.426299°
E 99.239502°		 ← 508.01 m →
258 135 m²		 S 65.426299°
E 99.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775680541992188 y=0.742568969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775680541992188 × 215)
    floor (0.775680541992188 × 32768)
    floor (25417.5)     		tx = 25417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742568969726562 × 215)
    floor (0.742568969726562 × 32768)
    floor (24332.5)     		ty = 24332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25417 / 24332 ti = "15/25417/24332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25417/24332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25417 ÷ 215
    25417 ÷ 32768     		x = 0.775665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24332 ÷ 215
    24332 ÷ 32768     		y = 0.7425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775665283203125 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73205606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52400991272083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73205606} λ = 1.73205606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52400991272083))-π/2
    2×atan(0.21783662740453)-π/2
    2×0.214485871484421-π/2
    0.428971742968842-1.57079632675     		φ = -1.14182458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73205606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14182458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.421729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25417 KachelY 24332 1.73205606 -1.14182458 99.239502 -65.421729
    Oben rechts KachelX + 1 25418 KachelY 24332 1.73224780 -1.14182458 99.250488 -65.421729
    Unten links KachelX 25417 KachelY + 1 24333 1.73205606 -1.14190433 99.239502 -65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 25418 KachelY + 1 24333 1.73224780 -1.14190433 99.250488 -65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14182458--1.14190433) × R
    7.97500000000451e-05 × 6371000     		dl = 508.087250000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14182458--1.14190433) × R
    7.97500000000451e-05 × 6371000     		dr = 508.087250000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73205606-1.73224780) × cos(-1.14182458) × R
    0.000191739999999996 × 0.415935935268779 × 6371000     		do = 508.097164731353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73205606-1.73224780) × cos(-1.14190433) × R
    0.000191739999999996 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 508.008569369725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14182458)-sin(-1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415935935268779-0.415863409781221)×R²
    abs(1.73224780-1.73205606)×7.25254875578729e-05×R²
    0.000191739999999996×7.25254875578729e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.25254875578729e-05×40589641000000     		ar = 258135.184211679m²