Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25412 / 41196
↖ ↑ ↗
← S 41.951320°
W 40.407715°		 ← 454.30 m → S 41.951320°
W 40.402221°		 →
↑
454.25 m
↓
↑
454.25 m
↓
S 41.955405°
W 40.407715°		 ← 454.27 m →
206 359 m²		 S 41.955405°
W 40.402221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387763977050781 y=0.628608703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387763977050781 × 216)
    floor (0.387763977050781 × 65536)
    floor (25412.5)     		tx = 25412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628608703613281 × 216)
    floor (0.628608703613281 × 65536)
    floor (41196.5)     		ty = 41196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25412 / 41196 ti = "16/25412/41196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25412/41196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25412 ÷ 216
    25412 ÷ 65536     		x = 0.38775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41196 ÷ 216
    41196 ÷ 65536     		y = 0.62860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.2244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.70524767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808024379995667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70524767} λ = -0.70524767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808024379995667))-π/2
    2×atan(0.445737805446724)-π/2
    2×0.419303834091447-π/2
    0.838607668182893-1.57079632675     		φ = -0.73218866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70524767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.407715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73218866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.951320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25412 KachelY 41196 -0.70524767 -0.73218866 -40.407715 -41.951320
    Oben rechts KachelX + 1 25413 KachelY 41196 -0.70515179 -0.73218866 -40.402221 -41.951320
    Unten links KachelX 25412 KachelY + 1 41197 -0.70524767 -0.73225996 -40.407715 -41.955405
    Unten rechts KachelX + 1 25413 KachelY + 1 41197 -0.70515179 -0.73225996 -40.402221 -41.955405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73218866--0.73225996) × R
    7.12999999999964e-05 × 6371000     		dl = 454.252299999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73218866--0.73225996) × R
    7.12999999999964e-05 × 6371000     		dr = 454.252299999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70524767--0.70515179) × cos(-0.73218866) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.743713067836144 × 6371000     		do = 454.298228183277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70524767--0.70515179) × cos(-0.73225996) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.743665401969229 × 6371000     		du = 454.269111417926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73218866)-sin(-0.73225996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743713067836144-0.743665401969229)×R²
    abs(-0.70515179--0.70524767)×4.76658669154029e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76658669154029e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76658669154029e-05×40589641000000     		ar = 206359.401946947m²