Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25411 / 24125
↖ ↑ ↗
← S 64.458587°
E 99.173584°		 ← 526.73 m → S 64.458587°
E 99.184570°		 →
↑
526.69 m
↓
↑
526.69 m
↓
S 64.463323°
E 99.173584°		 ← 526.63 m →
277 398 m²		 S 64.463323°
E 99.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775497436523438 y=0.736251831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775497436523438 × 215)
    floor (0.775497436523438 × 32768)
    floor (25411.5)     		tx = 25411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736251831054688 × 215)
    floor (0.736251831054688 × 32768)
    floor (24125.5)     		ty = 24125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25411 / 24125 ti = "15/25411/24125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25411/24125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25411 ÷ 215
    25411 ÷ 32768     		x = 0.775482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24125 ÷ 215
    24125 ÷ 32768     		y = 0.736236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775482177734375 × 2 - 1) × π
    0.55096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73090557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.47247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48431815983542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73090557} λ = 1.73090557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48431815983542))-π/2
    2×atan(0.226656831732832)-π/2
    2×0.222890877979354-π/2
    0.445781755958707-1.57079632675     		φ = -1.12501457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73090557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12501457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.458587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25411 KachelY 24125 1.73090557 -1.12501457 99.173584 -64.458587
    Oben rechts KachelX + 1 25412 KachelY 24125 1.73109732 -1.12501457 99.184570 -64.458587
    Unten links KachelX 25411 KachelY + 1 24126 1.73090557 -1.12509724 99.173584 -64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 25412 KachelY + 1 24126 1.73109732 -1.12509724 99.184570 -64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12501457--1.12509724) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dl = 526.690570000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12501457--1.12509724) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dr = 526.690570000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73090557-1.73109732) × cos(-1.12501457) × R
    0.000191749999999935 × 0.431163370714054 × 6371000     		do = 526.726096826411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73090557-1.73109732) × cos(-1.12509724) × R
    0.000191749999999935 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 526.634971756093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12501457)-sin(-1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431163370714054-0.431088778259434)×R²
    abs(1.73109732-1.73090557)×7.45924546203813e-05×R²
    0.000191749999999935×7.45924546203813e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.45924546203813e-05×40589641000000     		ar = 277397.670971882m²