Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2541 / 614
↖ ↑ ↗
← N 77.351069°
E 43.330078°		 ← 2 140.06 m → N 77.351069°
E 43.417969°		 →
↑
2 141.61 m
↓
↑
2 141.61 m
↓
N 77.331809°
E 43.330078°		 ← 2 143.26 m →
4 586 600 m²		 N 77.331809°
E 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6204833984375 y=0.1500244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6204833984375 × 212)
    floor (0.6204833984375 × 4096)
    floor (2541.5)     		tx = 2541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1500244140625 × 212)
    floor (0.1500244140625 × 4096)
    floor (614.5)     		ty = 614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2541 / 614 ti = "12/2541/614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2541/614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2541 ÷ 212
    2541 ÷ 4096     		x = 0.620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 614 ÷ 212
    614 ÷ 4096     		y = 0.14990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620361328125 × 2 - 1) × π
    0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14990234375 × 2 - 1) × π
    0.7001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19972844976514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75625253} λ = 0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19972844976514))-π/2
    2×atan(9.02256308761871)-π/2
    2×1.46041358548725-π/2
    2.92082717097451-1.57079632675     		φ = 1.35003084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35003084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.351069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2541 KachelY 614 0.75625253 1.35003084 43.330078 77.351069
    Oben rechts KachelX + 1 2542 KachelY 614 0.75778651 1.35003084 43.417969 77.351069
    Unten links KachelX 2541 KachelY + 1 615 0.75625253 1.34969469 43.330078 77.331809
    Unten rechts KachelX + 1 2542 KachelY + 1 615 0.75778651 1.34969469 43.417969 77.331809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35003084-1.34969469) × R
    0.000336150000000091 × 6371000     		dl = 2141.61165000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35003084-1.34969469) × R
    0.000336150000000091 × 6371000     		dr = 2141.61165000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75625253-0.75778651) × cos(1.35003084) × R
    0.00153397999999993 × 0.218976595680542 × 6371000     		do = 2140.05533091993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75625253-0.75778651) × cos(1.34969469) × R
    0.00153397999999993 × 0.219304574979526 × 6371000     		du = 2143.26066820742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35003084)-sin(1.34969469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218976595680542-0.219304574979526)×R²
    abs(0.75778651-0.75625253)×0.000327979298983871×R²
    0.00153397999999993×0.000327979298983871×6371000²
    0.00153397999999993×0.000327979298983871×40589641000000     		ar = 4586599.76536989m²