Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25409 / 24376
↖ ↑ ↗
← S 65.622023°
E 99.151612°		 ← 504.21 m → S 65.622023°
E 99.162597°		 →
↑
504.14 m
↓
↑
504.14 m
↓
S 65.626557°
E 99.151612°		 ← 504.12 m →
254 169 m²		 S 65.626557°
E 99.162597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775436401367188 y=0.743911743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775436401367188 × 215)
    floor (0.775436401367188 × 32768)
    floor (25409.5)     		tx = 25409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743911743164062 × 215)
    floor (0.743911743164062 × 32768)
    floor (24376.5)     		ty = 24376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25409 / 24376 ti = "15/25409/24376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25409/24376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25409 ÷ 215
    25409 ÷ 32768     		x = 0.775421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24376 ÷ 215
    24376 ÷ 32768     		y = 0.743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775421142578125 × 2 - 1) × π
    0.55084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73052208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53244680705396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73052208} λ = 1.73052208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53244680705396))-π/2
    2×atan(0.216006493974325)-π/2
    2×0.212737985180594-π/2
    0.425475970361189-1.57079632675     		φ = -1.14532036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73052208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.151612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14532036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.622023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25409 KachelY 24376 1.73052208 -1.14532036 99.151612 -65.622023
    Oben rechts KachelX + 1 25410 KachelY 24376 1.73071382 -1.14532036 99.162597 -65.622023
    Unten links KachelX 25409 KachelY + 1 24377 1.73052208 -1.14539949 99.151612 -65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 25410 KachelY + 1 24377 1.73071382 -1.14539949 99.162597 -65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14532036--1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dl = 504.137230000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14532036--1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dr = 504.137230000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73052208-1.73071382) × cos(-1.14532036) × R
    0.000191739999999996 × 0.412754359208324 × 6371000     		do = 504.210629237251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73052208-1.73071382) × cos(-1.14539949) × R
    0.000191739999999996 × 0.412682282958725 × 6371000     		du = 504.122582653726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14532036)-sin(-1.14539949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412754359208324-0.412682282958725)×R²
    abs(1.73071382-1.73052208)×7.20762495989846e-05×R²
    0.000191739999999996×7.20762495989846e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.20762495989846e-05×40589641000000     		ar = 254169.15631252m²