Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25408 / 24385
↖ ↑ ↗
← S 65.662803°
E 99.140625°		 ← 503.44 m → S 65.662803°
E 99.151612°		 →
↑
503.37 m
↓
↑
503.37 m
↓
S 65.667329°
E 99.140625°		 ← 503.36 m →
253 398 m²		 S 65.667329°
E 99.151612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775405883789062 y=0.744186401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775405883789062 × 215)
    floor (0.775405883789062 × 32768)
    floor (25408.5)     		tx = 25408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744186401367188 × 215)
    floor (0.744186401367188 × 32768)
    floor (24385.5)     		ty = 24385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25408 / 24385 ti = "15/25408/24385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25408/24385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25408 ÷ 215
    25408 ÷ 32768     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24385 ÷ 215
    24385 ÷ 32768     		y = 0.744171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.48834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53417253544028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53417253544028))-π/2
    2×atan(0.215634046899722)-π/2
    2×0.212382114015004-π/2
    0.424764228030008-1.57079632675     		φ = -1.14603210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14603210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.662803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25408 KachelY 24385 1.73033033 -1.14603210 99.140625 -65.662803
    Oben rechts KachelX + 1 25409 KachelY 24385 1.73052208 -1.14603210 99.151612 -65.662803
    Unten links KachelX 25408 KachelY + 1 24386 1.73033033 -1.14611111 99.140625 -65.667329
    Unten rechts KachelX + 1 25409 KachelY + 1 24386 1.73052208 -1.14611111 99.151612 -65.667329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14603210--1.14611111) × R
    7.90100000001015e-05 × 6371000     		dl = 503.372710000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14603210--1.14611111) × R
    7.90100000001015e-05 × 6371000     		dr = 503.372710000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.14603210) × R
    0.000191750000000157 × 0.412105971763122 × 6371000     		do = 503.444830265634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.14611111) × R
    0.000191750000000157 × 0.412033981627711 × 6371000     		du = 503.356884290603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14603210)-sin(-1.14611111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412105971763122-0.412033981627711)×R²
    abs(1.73052208-1.73033033)×7.19901354107044e-05×R²
    0.000191750000000157×7.19901354107044e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.19901354107044e-05×40589641000000     		ar = 253398.253876404m²