Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25408 / 24378
↖ ↑ ↗
← S 65.631090°
E 99.140625°		 ← 504.06 m → S 65.631090°
E 99.151612°		 →
↑
504.01 m
↓
↑
504.01 m
↓
S 65.635623°
E 99.140625°		 ← 503.97 m →
254 029 m²		 S 65.635623°
E 99.151612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775405883789062 y=0.743972778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775405883789062 × 215)
    floor (0.775405883789062 × 32768)
    floor (25408.5)     		tx = 25408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743972778320312 × 215)
    floor (0.743972778320312 × 32768)
    floor (24378.5)     		ty = 24378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25408 / 24378 ti = "15/25408/24378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25408/24378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25408 ÷ 215
    25408 ÷ 32768     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24378 ÷ 215
    24378 ÷ 32768     		y = 0.74395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.4879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53283030225092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53283030225092))-π/2
    2×atan(0.215923672403226)-π/2
    2×0.212658854344312-π/2
    0.425317708688624-1.57079632675     		φ = -1.14547862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14547862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.631090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25408 KachelY 24378 1.73033033 -1.14547862 99.140625 -65.631090
    Oben rechts KachelX + 1 25409 KachelY 24378 1.73052208 -1.14547862 99.151612 -65.631090
    Unten links KachelX 25408 KachelY + 1 24379 1.73033033 -1.14555773 99.140625 -65.635623
    Unten rechts KachelX + 1 25409 KachelY + 1 24379 1.73052208 -1.14555773 99.151612 -65.635623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14547862--1.14555773) × R
    7.91099999999378e-05 × 6371000     		dl = 504.009809999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14547862--1.14555773) × R
    7.91099999999378e-05 × 6371000     		dr = 504.009809999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.14547862) × R
    0.000191750000000157 × 0.412610204125093 × 6371000     		do = 504.060820310138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.14555773) × R
    0.000191750000000157 × 0.412538140926684 × 6371000     		du = 503.972785078482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14547862)-sin(-1.14555773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412610204125093-0.412538140926684)×R²
    abs(1.73052208-1.73033033)×7.20631984080788e-05×R²
    0.000191750000000157×7.20631984080788e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.20631984080788e-05×40589641000000     		ar = 254029.413094569m²