Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25408 / 24128
↖ ↑ ↗
← S 64.472794°
E 99.140625°		 ← 526.45 m → S 64.472794°
E 99.151612°		 →
↑
526.37 m
↓
↑
526.37 m
↓
S 64.477528°
E 99.140625°		 ← 526.36 m →
277 086 m²		 S 64.477528°
E 99.151612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775405883789062 y=0.736343383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775405883789062 × 215)
    floor (0.775405883789062 × 32768)
    floor (25408.5)     		tx = 25408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736343383789062 × 215)
    floor (0.736343383789062 × 32768)
    floor (24128.5)     		ty = 24128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25408 / 24128 ti = "15/25408/24128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25408/24128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25408 ÷ 215
    25408 ÷ 32768     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24128 ÷ 215
    24128 ÷ 32768     		y = 0.736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736328125 × 2 - 1) × π
    -0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48489340263086))-π/2
    2×atan(0.226526486517008)-π/2
    2×0.222766898346654-π/2
    0.445533796693309-1.57079632675     		φ = -1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25408 KachelY 24128 1.73033033 -1.12526253 99.140625 -64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 25409 KachelY 24128 1.73052208 -1.12526253 99.151612 -64.472794
    Unten links KachelX 25408 KachelY + 1 24129 1.73033033 -1.12534515 99.140625 -64.477528
    Unten rechts KachelX + 1 25409 KachelY + 1 24129 1.73052208 -1.12534515 99.151612 -64.477528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12526253--1.12534515) × R
    8.26199999999222e-05 × 6371000     		dl = 526.372019999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12526253--1.12534515) × R
    8.26199999999222e-05 × 6371000     		dr = 526.372019999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.12526253) × R
    0.000191750000000157 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 526.452765938288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73052208) × cos(-1.12534515) × R
    0.000191750000000157 × 0.430865073462036 × 6371000     		du = 526.361685195787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12526253)-sin(-1.12534515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.430865073462036)×R²
    abs(1.73052208-1.73033033)×7.45561690985719e-05×R²
    0.000191750000000157×7.45561690985719e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.45561690985719e-05×40589641000000     		ar = 277086.034821253m²