Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25407 / 24131
↖ ↑ ↗
← S 64.486993°
E 99.129639°		 ← 526.18 m → S 64.486993°
E 99.140625°		 →
↑
526.12 m
↓
↑
526.12 m
↓
S 64.491725°
E 99.129639°		 ← 526.09 m →
276 808 m²		 S 64.491725°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775375366210938 y=0.736434936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775375366210938 × 215)
    floor (0.775375366210938 × 32768)
    floor (25407.5)     		tx = 25407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736434936523438 × 215)
    floor (0.736434936523438 × 32768)
    floor (24131.5)     		ty = 24131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25407 / 24131 ti = "15/25407/24131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25407/24131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25407 ÷ 215
    25407 ÷ 32768     		x = 0.775360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24131 ÷ 215
    24131 ÷ 32768     		y = 0.736419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775360107421875 × 2 - 1) × π
    0.55072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73013858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.47283935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4854686454263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73013858} λ = 1.73013858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4854686454263))-π/2
    2×atan(0.226396216259768)-π/2
    2×0.222642983053597-π/2
    0.445285966107195-1.57079632675     		φ = -1.12551036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73013858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.129639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12551036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.486993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25407 KachelY 24131 1.73013858 -1.12551036 99.129639 -64.486993
    Oben rechts KachelX + 1 25408 KachelY 24131 1.73033033 -1.12551036 99.140625 -64.486993
    Unten links KachelX 25407 KachelY + 1 24132 1.73013858 -1.12559294 99.129639 -64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 25408 KachelY + 1 24132 1.73033033 -1.12559294 99.140625 -64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12551036--1.12559294) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dl = 526.117179999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12551036--1.12559294) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dr = 526.117179999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73013858-1.73033033) × cos(-1.12551036) × R
    0.000191749999999935 × 0.430715979375635 × 6371000     		do = 526.179546007288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73013858-1.73033033) × cos(-1.12559294) × R
    0.000191749999999935 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 526.088498591326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12551036)-sin(-1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430715979375635-0.430641450486717)×R²
    abs(1.73033033-1.73013858)×7.45288889182905e-05×R²
    0.000191749999999935×7.45288889182905e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.45288889182905e-05×40589641000000     		ar = 276808.148271186m²