Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25406 / 24130
↖ ↑ ↗
← S 64.482261°
E 99.118652°		 ← 526.27 m → S 64.482261°
E 99.129639°		 →
↑
526.24 m
↓
↑
526.24 m
↓
S 64.486993°
E 99.118652°		 ← 526.18 m →
276 923 m²		 S 64.486993°
E 99.129639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775344848632812 y=0.736404418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775344848632812 × 215)
    floor (0.775344848632812 × 32768)
    floor (25406.5)     		tx = 25406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736404418945312 × 215)
    floor (0.736404418945312 × 32768)
    floor (24130.5)     		ty = 24130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25406 / 24130 ti = "15/25406/24130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25406/24130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25406 ÷ 215
    25406 ÷ 32768     		x = 0.77532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24130 ÷ 215
    24130 ÷ 32768     		y = 0.73638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77532958984375 × 2 - 1) × π
    0.5506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72994683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48527689782782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72994683} λ = 1.72994683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48527689782782))-π/2
    2×atan(0.226439631352778)-π/2
    2×0.222684281004025-π/2
    0.445368562008051-1.57079632675     		φ = -1.12542776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72994683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.118652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12542776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.482261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25406 KachelY 24130 1.72994683 -1.12542776 99.118652 -64.482261
    Oben rechts KachelX + 1 25407 KachelY 24130 1.73013858 -1.12542776 99.129639 -64.482261
    Unten links KachelX 25406 KachelY + 1 24131 1.72994683 -1.12551036 99.118652 -64.486993
    Unten rechts KachelX + 1 25407 KachelY + 1 24131 1.73013858 -1.12551036 99.129639 -64.486993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12542776--1.12551036) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dl = 526.244600000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12542776--1.12551036) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dr = 526.244600000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72994683-1.73013858) × cos(-1.12542776) × R
    0.000191749999999935 × 0.430790523376344 × 6371000     		do = 526.270611884406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72994683-1.73013858) × cos(-1.12551036) × R
    0.000191749999999935 × 0.430715979375635 × 6371000     		du = 526.179546007288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12542776)-sin(-1.12551036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430790523376344-0.430715979375635)×R²
    abs(1.73013858-1.72994683)×7.45440007086096e-05×R²
    0.000191749999999935×7.45440007086096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.45440007086096e-05×40589641000000     		ar = 276923.106337012m²