Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25405 / 24086
↖ ↑ ↗
← S 64.273223°
E 99.107666°		 ← 530.26 m → S 64.273223°
E 99.118652°		 →
↑
530.19 m
↓
↑
530.19 m
↓
S 64.277992°
E 99.107666°		 ← 530.17 m →
281 118 m²		 S 64.277992°
E 99.118652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775314331054688 y=0.735061645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775314331054688 × 215)
    floor (0.775314331054688 × 32768)
    floor (25405.5)     		tx = 25405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735061645507812 × 215)
    floor (0.735061645507812 × 32768)
    floor (24086.5)     		ty = 24086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25405 / 24086 ti = "15/25405/24086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25405/24086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25405 ÷ 215
    25405 ÷ 32768     		x = 0.775299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24086 ÷ 215
    24086 ÷ 32768     		y = 0.73504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775299072265625 × 2 - 1) × π
    0.55059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72975509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.4700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47684000349469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72975509} λ = 1.72975509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47684000349469))-π/2
    2×atan(0.228358160428627)-π/2
    2×0.22450847983829-π/2
    0.44901695967658-1.57079632675     		φ = -1.12177937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72975509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12177937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.273223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25405 KachelY 24086 1.72975509 -1.12177937 99.107666 -64.273223
    Oben rechts KachelX + 1 25406 KachelY 24086 1.72994683 -1.12177937 99.118652 -64.273223
    Unten links KachelX 25405 KachelY + 1 24087 1.72975509 -1.12186259 99.107666 -64.277992
    Unten rechts KachelX + 1 25406 KachelY + 1 24087 1.72994683 -1.12186259 99.118652 -64.277992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12177937--1.12186259) × R
    8.32200000000505e-05 × 6371000     		dl = 530.194620000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12177937--1.12186259) × R
    8.32200000000505e-05 × 6371000     		dr = 530.194620000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72975509-1.72994683) × cos(-1.12177937) × R
    0.000191739999999996 × 0.434080145678614 × 6371000     		do = 530.26168836062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72975509-1.72994683) × cos(-1.12186259) × R
    0.000191739999999996 × 0.434005173419898 × 6371000     		du = 530.170104083194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12177937)-sin(-1.12186259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434080145678614-0.434005173419898)×R²
    abs(1.72994683-1.72975509)×7.49722587162216e-05×R²
    0.000191739999999996×7.49722587162216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.49722587162216e-05×40589641000000     		ar = 281117.615777258m²