Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25404 / 41134
↖ ↑ ↗
← S 41.697526°
W 40.451660°		 ← 456.10 m → S 41.697526°
W 40.446167°		 →
↑
456.04 m
↓
↑
456.04 m
↓
S 41.701627°
W 40.451660°		 ← 456.07 m →
207 993 m²		 S 41.701627°
W 40.446167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387641906738281 y=0.627662658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387641906738281 × 216)
    floor (0.387641906738281 × 65536)
    floor (25404.5)     		tx = 25404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627662658691406 × 216)
    floor (0.627662658691406 × 65536)
    floor (41134.5)     		ty = 41134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25404 / 41134 ti = "16/25404/41134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25404/41134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25404 ÷ 216
    25404 ÷ 65536     		x = 0.38763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41134 ÷ 216
    41134 ÷ 65536     		y = 0.627655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70601466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80208020444278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70601466} λ = -0.70601466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80208020444278))-π/2
    2×atan(0.448395239515533)-π/2
    2×0.421518604866811-π/2
    0.843037209733622-1.57079632675     		φ = -0.72775912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70601466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.451660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72775912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.697526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25404 KachelY 41134 -0.70601466 -0.72775912 -40.451660 -41.697526
    Oben rechts KachelX + 1 25405 KachelY 41134 -0.70591878 -0.72775912 -40.446167 -41.697526
    Unten links KachelX 25404 KachelY + 1 41135 -0.70601466 -0.72783070 -40.451660 -41.701627
    Unten rechts KachelX + 1 25405 KachelY + 1 41135 -0.70591878 -0.72783070 -40.446167 -41.701627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72775912--0.72783070) × R
    7.1580000000071e-05 × 6371000     		dl = 456.036180000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72775912--0.72783070) × R
    7.1580000000071e-05 × 6371000     		dr = 456.036180000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70601466--0.70591878) × cos(-0.72775912) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746666904959946 × 6371000     		do = 456.102583962031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70601466--0.70591878) × cos(-0.72783070) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746619288166022 × 6371000     		du = 456.07349717299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72775912)-sin(-0.72783070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746666904959946-0.746619288166022)×R²
    abs(-0.70591878--0.70601466)×4.76167939233996e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76167939233996e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76167939233996e-05×40589641000000     		ar = 207992.647853019m²