Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25404 / 24316
↖ ↑ ↗
← S 65.348514°
E 99.096680°		 ← 509.54 m → S 65.348514°
E 99.107666°		 →
↑
509.49 m
↓
↑
509.49 m
↓
S 65.353096°
E 99.096680°		 ← 509.45 m →
259 584 m²		 S 65.353096°
E 99.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775283813476562 y=0.742080688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775283813476562 × 215)
    floor (0.775283813476562 × 32768)
    floor (25404.5)     		tx = 25404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742080688476562 × 215)
    floor (0.742080688476562 × 32768)
    floor (24316.5)     		ty = 24316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25404 / 24316 ti = "15/25404/24316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25404/24316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25404 ÷ 215
    25404 ÷ 32768     		x = 0.7752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24316 ÷ 215
    24316 ÷ 32768     		y = 0.7420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7752685546875 × 2 - 1) × π
    0.550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72956334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72956334} λ = 1.72956334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52094195114514))-π/2
    2×atan(0.218505968037848)-π/2
    2×0.215124799925359-π/2
    0.430249599850718-1.57079632675     		φ = -1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72956334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25404 KachelY 24316 1.72956334 -1.14054673 99.096680 -65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 25405 KachelY 24316 1.72975509 -1.14054673 99.107666 -65.348514
    Unten links KachelX 25404 KachelY + 1 24317 1.72956334 -1.14062670 99.096680 -65.353096
    Unten rechts KachelX + 1 25405 KachelY + 1 24317 1.72975509 -1.14062670 99.107666 -65.353096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14054673--1.14062670) × R
    7.99700000000403e-05 × 6371000     		dl = 509.488870000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14054673--1.14062670) × R
    7.99700000000403e-05 × 6371000     		dr = 509.488870000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72956334-1.72975509) × cos(-1.14054673) × R
    0.000191750000000157 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 509.542877889643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72956334-1.72975509) × cos(-1.14062670) × R
    0.000191750000000157 × 0.417024981377896 × 6371000     		du = 509.454085482174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14054673)-sin(-1.14062670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.417024981377896)×R²
    abs(1.72975509-1.72956334)×7.26830015237989e-05×R²
    0.000191750000000157×7.26830015237989e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.26830015237989e-05×40589641000000     		ar = 259583.80583911m²