Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25403 / 24083
↖ ↑ ↗
← S 64.258913°
E 99.085693°		 ← 530.56 m → S 64.258913°
E 99.096680°		 →
↑
530.51 m
↓
↑
530.51 m
↓
S 64.263684°
E 99.085693°		 ← 530.47 m →
281 447 m²		 S 64.263684°
E 99.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775253295898438 y=0.734970092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775253295898438 × 215)
    floor (0.775253295898438 × 32768)
    floor (25403.5)     		tx = 25403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734970092773438 × 215)
    floor (0.734970092773438 × 32768)
    floor (24083.5)     		ty = 24083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25403 / 24083 ti = "15/25403/24083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25403/24083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25403 ÷ 215
    25403 ÷ 32768     		x = 0.775238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24083 ÷ 215
    24083 ÷ 32768     		y = 0.734954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    0.55047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72937159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.46990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47626476069925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72937159} λ = 1.72937159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47626476069925))-π/2
    2×atan(0.228489559604785)-π/2
    2×0.224633362931714-π/2
    0.449266725863428-1.57079632675     		φ = -1.12152960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72937159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12152960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.258913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25403 KachelY 24083 1.72937159 -1.12152960 99.085693 -64.258913
    Oben rechts KachelX + 1 25404 KachelY 24083 1.72956334 -1.12152960 99.096680 -64.258913
    Unten links KachelX 25403 KachelY + 1 24084 1.72937159 -1.12161287 99.085693 -64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 25404 KachelY + 1 24084 1.72956334 -1.12161287 99.096680 -64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12152960--1.12161287) × R
    8.32700000001907e-05 × 6371000     		dl = 530.513170001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12152960--1.12161287) × R
    8.32700000001907e-05 × 6371000     		dr = 530.513170001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72937159-1.72956334) × cos(-1.12152960) × R
    0.000191749999999935 × 0.434305143499417 × 6371000     		do = 530.56420977559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72937159-1.72956334) × cos(-1.12161287) × R
    0.000191749999999935 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 530.472576723355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12152960)-sin(-1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434305143499417-0.434230135224891)×R²
    abs(1.72956334-1.72937159)×7.50082745261671e-05×R²
    0.000191749999999935×7.50082745261671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.50082745261671e-05×40589641000000     		ar = 281446.994709317m²