Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25402 / 24634
↖ ↑ ↗
← S 66.765919°
E 99.074707°		 ← 481.92 m → S 66.765919°
E 99.085693°		 →
↑
481.90 m
↓
↑
481.90 m
↓
S 66.770253°
E 99.074707°		 ← 481.84 m →
232 219 m²		 S 66.770253°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775222778320312 y=0.751785278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775222778320312 × 215)
    floor (0.775222778320312 × 32768)
    floor (25402.5)     		tx = 25402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751785278320312 × 215)
    floor (0.751785278320312 × 32768)
    floor (24634.5)     		ty = 24634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25402 / 24634 ti = "15/25402/24634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25402/24634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25402 ÷ 215
    25402 ÷ 32768     		x = 0.77520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24634 ÷ 215
    24634 ÷ 32768     		y = 0.75177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    0.5504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72917984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72917984} λ = 1.72917984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58191768746185))-π/2
    2×atan(0.205580480838924)-π/2
    2×0.202755603188791-π/2
    0.405511206377583-1.57079632675     		φ = -1.16528512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72917984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16528512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.765919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25402 KachelY 24634 1.72917984 -1.16528512 99.074707 -66.765919
    Oben rechts KachelX + 1 25403 KachelY 24634 1.72937159 -1.16528512 99.085693 -66.765919
    Unten links KachelX 25402 KachelY + 1 24635 1.72917984 -1.16536076 99.074707 -66.770253
    Unten rechts KachelX + 1 25403 KachelY + 1 24635 1.72937159 -1.16536076 99.085693 -66.770253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16528512--1.16536076) × R
    7.56399999999324e-05 × 6371000     		dl = 481.902439999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16528512--1.16536076) × R
    7.56399999999324e-05 × 6371000     		dr = 481.902439999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72917984-1.72937159) × cos(-1.16528512) × R
    0.000191749999999935 × 0.394488560256022 × 6371000     		do = 481.922708884583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72917984-1.72937159) × cos(-1.16536076) × R
    0.000191749999999935 × 0.394419053467127 × 6371000     		du = 481.837796663128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16528512)-sin(-1.16536076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394488560256022-0.394419053467127)×R²
    abs(1.72937159-1.72917984)×6.95067888951129e-05×R²
    0.000191749999999935×6.95067888951129e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.95067888951129e-05×40589641000000     		ar = 232219.269710122m²