Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25402 / 24078
↖ ↑ ↗
← S 64.235046°
E 99.074707°		 ← 531.02 m → S 64.235046°
E 99.085693°		 →
↑
530.96 m
↓
↑
530.96 m
↓
S 64.239821°
E 99.074707°		 ← 530.93 m →
281 927 m²		 S 64.239821°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775222778320312 y=0.734817504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775222778320312 × 215)
    floor (0.775222778320312 × 32768)
    floor (25402.5)     		tx = 25402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734817504882812 × 215)
    floor (0.734817504882812 × 32768)
    floor (24078.5)     		ty = 24078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25402 / 24078 ti = "15/25402/24078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25402/24078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25402 ÷ 215
    25402 ÷ 32768     		x = 0.77520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24078 ÷ 215
    24078 ÷ 32768     		y = 0.73480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    0.5504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72917984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.4696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47530602270685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72917984} λ = 1.72917984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47530602270685))-π/2
    2×atan(0.228708726271362)-π/2
    2×0.224841645269178-π/2
    0.449683290538356-1.57079632675     		φ = -1.12111304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72917984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12111304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.235046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25402 KachelY 24078 1.72917984 -1.12111304 99.074707 -64.235046
    Oben rechts KachelX + 1 25403 KachelY 24078 1.72937159 -1.12111304 99.085693 -64.235046
    Unten links KachelX 25402 KachelY + 1 24079 1.72917984 -1.12119638 99.074707 -64.239821
    Unten rechts KachelX + 1 25403 KachelY + 1 24079 1.72937159 -1.12119638 99.085693 -64.239821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12111304--1.12119638) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dl = 530.959139999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12111304--1.12119638) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dr = 530.959139999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72917984-1.72937159) × cos(-1.12111304) × R
    0.000191749999999935 × 0.434680328813087 × 6371000     		do = 531.022550880793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72917984-1.72937159) × cos(-1.12119638) × R
    0.000191749999999935 × 0.434605272565017 × 6371000     		du = 530.930859222193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12111304)-sin(-1.12119638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434680328813087-0.434605272565017)×R²
    abs(1.72937159-1.72917984)×7.50562480699157e-05×R²
    0.000191749999999935×7.50562480699157e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.50562480699157e-05×40589641000000     		ar = 281926.934837934m²