Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25401 / 24765
↖ ↑ ↗
← S 67.327160°
E 99.063721°		 ← 470.88 m → S 67.327160°
E 99.074707°		 →
↑
470.88 m
↓
↑
470.88 m
↓
S 67.331394°
E 99.063721°		 ← 470.80 m →
221 708 m²		 S 67.331394°
E 99.074707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775192260742188 y=0.755783081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775192260742188 × 215)
    floor (0.775192260742188 × 32768)
    floor (25401.5)     		tx = 25401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755783081054688 × 215)
    floor (0.755783081054688 × 32768)
    floor (24765.5)     		ty = 24765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25401 / 24765 ti = "15/25401/24765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25401/24765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25401 ÷ 215
    25401 ÷ 32768     		x = 0.775177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24765 ÷ 215
    24765 ÷ 32768     		y = 0.755767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    0.55035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72898810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.51153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60703662286276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72898810} λ = 1.72898810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60703662286276))-π/2
    2×atan(0.200480834995249)-π/2
    2×0.197857858410581-π/2
    0.395715716821163-1.57079632675     		φ = -1.17508061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72898810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17508061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.327160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25401 KachelY 24765 1.72898810 -1.17508061 99.063721 -67.327160
    Oben rechts KachelX + 1 25402 KachelY 24765 1.72917984 -1.17508061 99.074707 -67.327160
    Unten links KachelX 25401 KachelY + 1 24766 1.72898810 -1.17515452 99.063721 -67.331394
    Unten rechts KachelX + 1 25402 KachelY + 1 24766 1.72917984 -1.17515452 99.074707 -67.331394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17508061--1.17515452) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dl = 470.880610000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17508061--1.17515452) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dr = 470.880610000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72898810-1.72917984) × cos(-1.17508061) × R
    0.000191739999999996 × 0.385468694335497 × 6371000     		do = 470.87912843597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72898810-1.72917984) × cos(-1.17515452) × R
    0.000191739999999996 × 0.385400494979936 × 6371000     		du = 470.795817771372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17508061)-sin(-1.17515452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385468694335497-0.385400494979936)×R²
    abs(1.72917984-1.72898810)×6.81993555614602e-05×R²
    0.000191739999999996×6.81993555614602e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.81993555614602e-05×40589641000000     		ar = 221708.236646803m²