Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25400 / 24088
↖ ↑ ↗
← S 64.282760°
E 99.052734°		 ← 530.11 m → S 64.282760°
E 99.063721°		 →
↑
530 m
↓
↑
530 m
↓
S 64.287526°
E 99.052734°		 ← 530.01 m →
280 934 m²		 S 64.287526°
E 99.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775161743164062 y=0.735122680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775161743164062 × 215)
    floor (0.775161743164062 × 32768)
    floor (25400.5)     		tx = 25400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735122680664062 × 215)
    floor (0.735122680664062 × 32768)
    floor (24088.5)     		ty = 24088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25400 / 24088 ti = "15/25400/24088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25400/24088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25400 ÷ 215
    25400 ÷ 32768     		x = 0.775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24088 ÷ 215
    24088 ÷ 32768     		y = 0.735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.47021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47722349869165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72879635} λ = 1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47722349869165))-π/2
    2×atan(0.228270602960923)-π/2
    2×0.224425260388889-π/2
    0.448850520777779-1.57079632675     		φ = -1.12194581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12194581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.282760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25400 KachelY 24088 1.72879635 -1.12194581 99.052734 -64.282760
    Oben rechts KachelX + 1 25401 KachelY 24088 1.72898810 -1.12194581 99.063721 -64.282760
    Unten links KachelX 25400 KachelY + 1 24089 1.72879635 -1.12202900 99.052734 -64.287526
    Unten rechts KachelX + 1 25401 KachelY + 1 24089 1.72898810 -1.12202900 99.063721 -64.287526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12194581--1.12202900) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dl = 530.003490000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12194581--1.12202900) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dr = 530.003490000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72879635-1.72898810) × cos(-1.12194581) × R
    0.000191749999999935 × 0.433930198155449 × 6371000     		do = 530.106161826795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72879635-1.72898810) × cos(-1.12202900) × R
    0.000191749999999935 × 0.433855246915265 × 6371000     		du = 530.01459844995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12194581)-sin(-1.12202900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433930198155449-0.433855246915265)×R²
    abs(1.72898810-1.72879635)×7.49512401841401e-05×R²
    0.000191749999999935×7.49512401841401e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.49512401841401e-05×40589641000000     		ar = 280933.851546379m²