Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25398 / 24309
↖ ↑ ↗
← S 65.316417°
E 99.030762°		 ← 510.16 m → S 65.316417°
E 99.041748°		 →
↑
510.13 m
↓
↑
510.13 m
↓
S 65.321005°
E 99.030762°		 ← 510.08 m →
260 226 m²		 S 65.321005°
E 99.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775100708007812 y=0.741867065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775100708007812 × 215)
    floor (0.775100708007812 × 32768)
    floor (25398.5)     		tx = 25398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741867065429688 × 215)
    floor (0.741867065429688 × 32768)
    floor (24309.5)     		ty = 24309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25398 / 24309 ti = "15/25398/24309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25398/24309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25398 ÷ 215
    25398 ÷ 32768     		x = 0.77508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24309 ÷ 215
    24309 ÷ 32768     		y = 0.741851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77508544921875 × 2 - 1) × π
    0.5501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72841285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.48370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72841285} λ = 1.72841285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51959971795578))-π/2
    2×atan(0.218799450917392)-π/2
    2×0.215404891884712-π/2
    0.430809783769424-1.57079632675     		φ = -1.13998654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72841285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13998654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.316417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25398 KachelY 24309 1.72841285 -1.13998654 99.030762 -65.316417
    Oben rechts KachelX + 1 25399 KachelY 24309 1.72860460 -1.13998654 99.041748 -65.316417
    Unten links KachelX 25398 KachelY + 1 24310 1.72841285 -1.14006661 99.030762 -65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 25399 KachelY + 1 24310 1.72860460 -1.14006661 99.041748 -65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13998654--1.14006661) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dl = 510.125970000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13998654--1.14006661) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dr = 510.125970000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72841285-1.72860460) × cos(-1.13998654) × R
    0.000191749999999935 × 0.417606734127387 × 6371000     		do = 510.164777474158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72841285-1.72860460) × cos(-1.14006661) × R
    0.000191749999999935 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 510.075896899704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13998654)-sin(-1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417606734127387-0.417533978954816)×R²
    abs(1.72860460-1.72841285)×7.27551725717146e-05×R²
    0.000191749999999935×7.27551725717146e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.27551725717146e-05×40589641000000     		ar = 260225.631963837m²