Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25396 / 41265
↖ ↑ ↗
← S 42.232585°
W 40.495606°		 ← 452.29 m → S 42.232585°
W 40.490112°		 →
↑
452.21 m
↓
↑
452.21 m
↓
S 42.236652°
W 40.495606°		 ← 452.26 m →
204 524 m²		 S 42.236652°
W 40.490112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387519836425781 y=0.629661560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387519836425781 × 216)
    floor (0.387519836425781 × 65536)
    floor (25396.5)     		tx = 25396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629661560058594 × 216)
    floor (0.629661560058594 × 65536)
    floor (41265.5)     		ty = 41265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25396 / 41265 ti = "16/25396/41265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25396/41265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25396 ÷ 216
    25396 ÷ 65536     		x = 0.38751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41265 ÷ 216
    41265 ÷ 65536     		y = 0.629653930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.2249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70678165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629653930664062 × 2 - 1) × π
    -0.259307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.814639672143234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70678165} λ = -0.70678165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814639672143234))-π/2
    2×atan(0.442798851380247)-π/2
    2×0.416849335654538-π/2
    0.833698671309075-1.57079632675     		φ = -0.73709766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70678165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.495606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73709766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.232585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25396 KachelY 41265 -0.70678165 -0.73709766 -40.495606 -42.232585
    Oben rechts KachelX + 1 25397 KachelY 41265 -0.70668577 -0.73709766 -40.490112 -42.232585
    Unten links KachelX 25396 KachelY + 1 41266 -0.70678165 -0.73716864 -40.495606 -42.236652
    Unten rechts KachelX + 1 25397 KachelY + 1 41266 -0.70668577 -0.73716864 -40.490112 -42.236652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73709766--0.73716864) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dl = 452.213580000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73709766--0.73716864) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dr = 452.213580000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70678165--0.70668577) × cos(-0.73709766) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.74042245848814 × 6371000     		do = 452.288154592946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70678165--0.70668577) × cos(-0.73716864) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.740374747998895 × 6371000     		du = 452.259010569979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73709766)-sin(-0.73716864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74042245848814-0.740374747998895)×R²
    abs(-0.70668577--0.70678165)×4.77104892447899e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77104892447899e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77104892447899e-05×40589641000000     		ar = 204524.256004727m²