Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25394 / 24766
↖ ↑ ↗
← S 67.331394°
E 98.986816°		 ← 470.82 m → S 67.331394°
E 98.997803°		 →
↑
470.75 m
↓
↑
470.75 m
↓
S 67.335628°
E 98.986816°		 ← 470.74 m →
221 621 m²		 S 67.335628°
E 98.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774978637695312 y=0.755813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774978637695312 × 215)
    floor (0.774978637695312 × 32768)
    floor (25394.5)     		tx = 25394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755813598632812 × 215)
    floor (0.755813598632812 × 32768)
    floor (24766.5)     		ty = 24766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25394 / 24766 ti = "15/25394/24766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25394/24766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25394 ÷ 215
    25394 ÷ 32768     		x = 0.77496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24766 ÷ 215
    24766 ÷ 32768     		y = 0.75579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77496337890625 × 2 - 1) × π
    0.5499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72764586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60722837046124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72764586} λ = 1.72764586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60722837046124))-π/2
    2×atan(0.200442396961915)-π/2
    2×0.19782090533154-π/2
    0.39564181066308-1.57079632675     		φ = -1.17515452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72764586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.986816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17515452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.331394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25394 KachelY 24766 1.72764586 -1.17515452 98.986816 -67.331394
    Oben rechts KachelX + 1 25395 KachelY 24766 1.72783761 -1.17515452 98.997803 -67.331394
    Unten links KachelX 25394 KachelY + 1 24767 1.72764586 -1.17522841 98.986816 -67.335628
    Unten rechts KachelX + 1 25395 KachelY + 1 24767 1.72783761 -1.17522841 98.997803 -67.335628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17515452--1.17522841) × R
    7.38899999999099e-05 × 6371000     		dl = 470.753189999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17515452--1.17522841) × R
    7.38899999999099e-05 × 6371000     		dr = 470.753189999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72764586-1.72783761) × cos(-1.17515452) × R
    0.000191749999999935 × 0.385400494979936 × 6371000     		do = 470.820371636758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72764586-1.72783761) × cos(-1.17522841) × R
    0.000191749999999935 × 0.385332311974609 × 6371000     		du = 470.737076601268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17515452)-sin(-1.17522841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385400494979936-0.385332311974609)×R²
    abs(1.72783761-1.72764586)×6.81830053264609e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81830053264609e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81830053264609e-05×40589641000000     		ar = 221620.586264291m²