Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25394 / 24082
↖ ↑ ↗
← S 64.254141°
E 98.986816°		 ← 530.66 m → S 64.254141°
E 98.997803°		 →
↑
530.58 m
↓
↑
530.58 m
↓
S 64.258913°
E 98.986816°		 ← 530.56 m →
281 529 m²		 S 64.258913°
E 98.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774978637695312 y=0.734939575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774978637695312 × 215)
    floor (0.774978637695312 × 32768)
    floor (25394.5)     		tx = 25394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734939575195312 × 215)
    floor (0.734939575195312 × 32768)
    floor (24082.5)     		ty = 24082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25394 / 24082 ti = "15/25394/24082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25394/24082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25394 ÷ 215
    25394 ÷ 32768     		x = 0.77496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24082 ÷ 215
    24082 ÷ 32768     		y = 0.73492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77496337890625 × 2 - 1) × π
    0.5499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72764586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.4698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47607301310077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72764586} λ = 1.72764586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47607301310077))-π/2
    2×atan(0.228533376129839)-π/2
    2×0.224675005011822-π/2
    0.449350010023644-1.57079632675     		φ = -1.12144632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72764586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.986816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12144632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.254141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25394 KachelY 24082 1.72764586 -1.12144632 98.986816 -64.254141
    Oben rechts KachelX + 1 25395 KachelY 24082 1.72783761 -1.12144632 98.997803 -64.254141
    Unten links KachelX 25394 KachelY + 1 24083 1.72764586 -1.12152960 98.986816 -64.258913
    Unten rechts KachelX + 1 25395 KachelY + 1 24083 1.72783761 -1.12152960 98.997803 -64.258913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12144632--1.12152960) × R
    8.32799999999079e-05 × 6371000     		dl = 530.576879999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12144632--1.12152960) × R
    8.32799999999079e-05 × 6371000     		dr = 530.576879999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72764586-1.72783761) × cos(-1.12144632) × R
    0.000191749999999935 × 0.434380157769814 × 6371000     		do = 530.655850152618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72764586-1.72783761) × cos(-1.12152960) × R
    0.000191749999999935 × 0.434305143499417 × 6371000     		du = 530.56420977559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12144632)-sin(-1.12152960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434380157769814-0.434305143499417)×R²
    abs(1.72783761-1.72764586)×7.5014270396967e-05×R²
    0.000191749999999935×7.5014270396967e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.5014270396967e-05×40589641000000     		ar = 281529.414357589m²