Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25393 / 24764
↖ ↑ ↗
← S 67.322924°
E 98.975830°		 ← 470.99 m → S 67.322924°
E 98.986816°		 →
↑
470.94 m
↓
↑
470.94 m
↓
S 67.327160°
E 98.975830°		 ← 470.90 m →
221 789 m²		 S 67.327160°
E 98.986816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774948120117188 y=0.755752563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774948120117188 × 215)
    floor (0.774948120117188 × 32768)
    floor (25393.5)     		tx = 25393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755752563476562 × 215)
    floor (0.755752563476562 × 32768)
    floor (24764.5)     		ty = 24764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25393 / 24764 ti = "15/25393/24764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25393/24764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25393 ÷ 215
    25393 ÷ 32768     		x = 0.774932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24764 ÷ 215
    24764 ÷ 32768     		y = 0.7557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774932861328125 × 2 - 1) × π
    0.54986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72745411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72745411} λ = 1.72745411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60684487526428))-π/2
    2×atan(0.200519280399689)-π/2
    2×0.197894818028291-π/2
    0.395789636056583-1.57079632675     		φ = -1.17500669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72745411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17500669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.322924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25393 KachelY 24764 1.72745411 -1.17500669 98.975830 -67.322924
    Oben rechts KachelX + 1 25394 KachelY 24764 1.72764586 -1.17500669 98.986816 -67.322924
    Unten links KachelX 25393 KachelY + 1 24765 1.72745411 -1.17508061 98.975830 -67.327160
    Unten rechts KachelX + 1 25394 KachelY + 1 24765 1.72764586 -1.17508061 98.986816 -67.327160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17500669--1.17508061) × R
    7.39199999999496e-05 × 6371000     		dl = 470.944319999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17500669--1.17508061) × R
    7.39199999999496e-05 × 6371000     		dr = 470.944319999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72745411-1.72764586) × cos(-1.17500669) × R
    0.000191749999999935 × 0.385536900812288 × 6371000     		do = 470.987010355488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72745411-1.72764586) × cos(-1.17508061) × R
    0.000191749999999935 × 0.385468694335497 × 6371000     		du = 470.903686646336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17500669)-sin(-1.17508061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385536900812288-0.385468694335497)×R²
    abs(1.72764586-1.72745411)×6.82064767904e-05×R²
    0.000191749999999935×6.82064767904e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.82064767904e-05×40589641000000     		ar = 221789.037007401m²