Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25391 / 24087
↖ ↑ ↗
← S 64.277992°
E 98.953857°		 ← 530.20 m → S 64.277992°
E 98.964844°		 →
↑
530.19 m
↓
↑
530.19 m
↓
S 64.282760°
E 98.953857°		 ← 530.11 m →
281 084 m²		 S 64.282760°
E 98.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774887084960938 y=0.735092163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774887084960938 × 215)
    floor (0.774887084960938 × 32768)
    floor (25391.5)     		tx = 25391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735092163085938 × 215)
    floor (0.735092163085938 × 32768)
    floor (24087.5)     		ty = 24087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25391 / 24087 ti = "15/25391/24087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25391/24087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25391 ÷ 215
    25391 ÷ 32768     		x = 0.774871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24087 ÷ 215
    24087 ÷ 32768     		y = 0.735076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774871826171875 × 2 - 1) × π
    0.54974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72707062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.47015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47703175109317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72707062} λ = 1.72707062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47703175109317))-π/2
    2×atan(0.228314377497542)-π/2
    2×0.224466866519604-π/2
    0.448933733039208-1.57079632675     		φ = -1.12186259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72707062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12186259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.277992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25391 KachelY 24087 1.72707062 -1.12186259 98.953857 -64.277992
    Oben rechts KachelX + 1 25392 KachelY 24087 1.72726237 -1.12186259 98.964844 -64.277992
    Unten links KachelX 25391 KachelY + 1 24088 1.72707062 -1.12194581 98.953857 -64.282760
    Unten rechts KachelX + 1 25392 KachelY + 1 24088 1.72726237 -1.12194581 98.964844 -64.282760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12186259--1.12194581) × R
    8.32199999998284e-05 × 6371000     		dl = 530.194619998907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12186259--1.12194581) × R
    8.32199999998284e-05 × 6371000     		dr = 530.194619998907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72707062-1.72726237) × cos(-1.12186259) × R
    0.000191750000000157 × 0.434005173419898 × 6371000     		do = 530.197754553238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72707062-1.72726237) × cos(-1.12194581) × R
    0.000191750000000157 × 0.433930198155449 × 6371000     		du = 530.106161827409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12186259)-sin(-1.12194581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434005173419898-0.433930198155449)×R²
    abs(1.72726237-1.72707062)×7.49752644486068e-05×R²
    0.000191750000000157×7.49752644486068e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.49752644486068e-05×40589641000000     		ar = 281083.71617637m²