Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25388 / 24310
↖ ↑ ↗
← S 65.321005°
E 98.920899°		 ← 510.05 m → S 65.321005°
E 98.931885°		 →
↑
510.06 m
↓
↑
510.06 m
↓
S 65.325592°
E 98.920899°		 ← 509.96 m →
260 134 m²		 S 65.325592°
E 98.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774795532226562 y=0.741897583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774795532226562 × 215)
    floor (0.774795532226562 × 32768)
    floor (25388.5)     		tx = 25388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741897583007812 × 215)
    floor (0.741897583007812 × 32768)
    floor (24310.5)     		ty = 24310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25388 / 24310 ti = "15/25388/24310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25388/24310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25388 ÷ 215
    25388 ÷ 32768     		x = 0.7747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24310 ÷ 215
    24310 ÷ 32768     		y = 0.74188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.4837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51979146555426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72649538} λ = 1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51979146555426))-π/2
    2×atan(0.218757500670187)-π/2
    2×0.215364857828442-π/2
    0.430729715656883-1.57079632675     		φ = -1.14006661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14006661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.321005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25388 KachelY 24310 1.72649538 -1.14006661 98.920899 -65.321005
    Oben rechts KachelX + 1 25389 KachelY 24310 1.72668712 -1.14006661 98.931885 -65.321005
    Unten links KachelX 25388 KachelY + 1 24311 1.72649538 -1.14014667 98.920899 -65.325592
    Unten rechts KachelX + 1 25389 KachelY + 1 24311 1.72668712 -1.14014667 98.931885 -65.325592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14006661--1.14014667) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dl = 510.062259999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14006661--1.14014667) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dr = 510.062259999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72649538-1.72668712) × cos(-1.14006661) × R
    0.000191739999999996 × 0.417533978954816 × 6371000     		do = 510.049295810066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72649538-1.72668712) × cos(-1.14014667) × R
    0.000191739999999996 × 0.417461230192296 × 6371000     		du = 509.960427701207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14006661)-sin(-1.14014667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417533978954816-0.417461230192296)×R²
    abs(1.72668712-1.72649538)×7.27487625200585e-05×R²
    0.000191739999999996×7.27487625200585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.27487625200585e-05×40589641000000     		ar = 260134.232536788m²