Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25386 / 24085
↖ ↑ ↗
← S 64.268454°
E 98.898926°		 ← 530.38 m → S 64.268454°
E 98.909912°		 →
↑
530.32 m
↓
↑
530.32 m
↓
S 64.273223°
E 98.898926°		 ← 530.29 m →
281 248 m²		 S 64.273223°
E 98.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774734497070312 y=0.735031127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774734497070312 × 215)
    floor (0.774734497070312 × 32768)
    floor (25386.5)     		tx = 25386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735031127929688 × 215)
    floor (0.735031127929688 × 32768)
    floor (24085.5)     		ty = 24085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25386 / 24085 ti = "15/25386/24085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25386/24085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25386 ÷ 215
    25386 ÷ 32768     		x = 0.77471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24085 ÷ 215
    24085 ÷ 32768     		y = 0.735015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72611188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.47003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47664825589621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72611188} λ = 1.72611188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47664825589621))-π/2
    2×atan(0.228401951755789)-π/2
    2×0.224550100345901-π/2
    0.449100200691802-1.57079632675     		φ = -1.12169613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72611188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12169613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.268454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25386 KachelY 24085 1.72611188 -1.12169613 98.898926 -64.268454
    Oben rechts KachelX + 1 25387 KachelY 24085 1.72630363 -1.12169613 98.909912 -64.268454
    Unten links KachelX 25386 KachelY + 1 24086 1.72611188 -1.12177937 98.898926 -64.273223
    Unten rechts KachelX + 1 25387 KachelY + 1 24086 1.72630363 -1.12177937 98.909912 -64.273223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12169613--1.12177937) × R
    8.3240000000151e-05 × 6371000     		dl = 530.322040000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12169613--1.12177937) × R
    8.3240000000151e-05 × 6371000     		dr = 530.322040000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72611188-1.72630363) × cos(-1.12169613) × R
    0.000191750000000157 × 0.434155132947841 × 6371000     		do = 530.380950998485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72611188-1.72630363) × cos(-1.12177937) × R
    0.000191750000000157 × 0.434080145678614 × 6371000     		du = 530.289343607147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12169613)-sin(-1.12177937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434155132947841-0.434080145678614)×R²
    abs(1.72630363-1.72611188)×7.49872692271669e-05×R²
    0.000191750000000157×7.49872692271669e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.49872692271669e-05×40589641000000     		ar = 281248.417364827m²