Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25381 / 24091
↖ ↑ ↗
← S 64.297058°
E 98.843994°		 ← 529.83 m → S 64.297058°
E 98.854980°		 →
↑
529.75 m
↓
↑
529.75 m
↓
S 64.301822°
E 98.843994°		 ← 529.74 m →
280 653 m²		 S 64.301822°
E 98.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774581909179688 y=0.735214233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774581909179688 × 215)
    floor (0.774581909179688 × 32768)
    floor (25381.5)     		tx = 25381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735214233398438 × 215)
    floor (0.735214233398438 × 32768)
    floor (24091.5)     		ty = 24091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25381 / 24091 ti = "15/25381/24091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25381/24091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25381 ÷ 215
    25381 ÷ 32768     		x = 0.774566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24091 ÷ 215
    24091 ÷ 32768     		y = 0.735198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774566650390625 × 2 - 1) × π
    0.54913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72515314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.47039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47779874148709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72515314} λ = 1.72515314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47779874148709))-π/2
    2×atan(0.228139329701777)-π/2
    2×0.224300485115042-π/2
    0.448600970230084-1.57079632675     		φ = -1.12219536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72515314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12219536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.297058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25381 KachelY 24091 1.72515314 -1.12219536 98.843994 -64.297058
    Oben rechts KachelX + 1 25382 KachelY 24091 1.72534489 -1.12219536 98.854980 -64.297058
    Unten links KachelX 25381 KachelY + 1 24092 1.72515314 -1.12227851 98.843994 -64.301822
    Unten rechts KachelX + 1 25382 KachelY + 1 24092 1.72534489 -1.12227851 98.854980 -64.301822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12219536--1.12227851) × R
    8.31499999998098e-05 × 6371000     		dl = 529.748649998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12219536--1.12227851) × R
    8.31499999998098e-05 × 6371000     		dr = 529.748649998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72515314-1.72534489) × cos(-1.12219536) × R
    0.000191749999999935 × 0.433705353448926 × 6371000     		do = 529.831482708151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72515314-1.72534489) × cos(-1.12227851) × R
    0.000191749999999935 × 0.433630429247067 × 6371000     		du = 529.739952362386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12219536)-sin(-1.12227851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433705353448926-0.433630429247067)×R²
    abs(1.72534489-1.72515314)×7.49242018582286e-05×R²
    0.000191749999999935×7.49242018582286e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.49242018582286e-05×40589641000000     		ar = 280653.268814476m²