Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25380 / 41240
↖ ↑ ↗
← S 42.130821°
W 40.583496°		 ← 453.02 m → S 42.130821°
W 40.578003°		 →
↑
452.98 m
↓
↑
452.98 m
↓
S 42.134895°
W 40.583496°		 ← 452.99 m →
205 200 m²		 S 42.134895°
W 40.578003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387275695800781 y=0.629280090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387275695800781 × 216)
    floor (0.387275695800781 × 65536)
    floor (25380.5)     		tx = 25380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629280090332031 × 216)
    floor (0.629280090332031 × 65536)
    floor (41240.5)     		ty = 41240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25380 / 41240 ti = "16/25380/41240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25380/41240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25380 ÷ 216
    25380 ÷ 65536     		x = 0.38726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41240 ÷ 216
    41240 ÷ 65536     		y = 0.6292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.2254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.70831563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812242827162232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70831563} λ = -0.70831563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812242827162232))-π/2
    2×atan(0.443861444511574)-π/2
    2×0.417737389262401-π/2
    0.835474778524802-1.57079632675     		φ = -0.73532155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70831563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73532155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.130821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25380 KachelY 41240 -0.70831563 -0.73532155 -40.583496 -42.130821
    Oben rechts KachelX + 1 25381 KachelY 41240 -0.70821975 -0.73532155 -40.578003 -42.130821
    Unten links KachelX 25380 KachelY + 1 41241 -0.70831563 -0.73539265 -40.583496 -42.134895
    Unten rechts KachelX + 1 25381 KachelY + 1 41241 -0.70821975 -0.73539265 -40.578003 -42.134895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73532155--0.73539265) × R
    7.10999999999906e-05 × 6371000     		dl = 452.97809999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73532155--0.73539265) × R
    7.10999999999906e-05 × 6371000     		dr = 452.97809999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70831563--0.70821975) × cos(-0.73532155) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.741615087755575 × 6371000     		do = 453.016673945526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70831563--0.70821975) × cos(-0.73539265) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.741567390176918 × 6371000     		du = 452.987537809011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73532155)-sin(-0.73539265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741615087755575-0.741567390176918)×R²
    abs(-0.70821975--0.70831563)×4.7697578657302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7697578657302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7697578657302e-05×40589641000000     		ar = 205200.03330262m²