Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25379 / 24485
↖ ↑ ↗
← S 66.111619°
E 98.822022°		 ← 494.71 m → S 66.111619°
E 98.833008°		 →
↑
494.71 m
↓
↑
494.71 m
↓
S 66.116068°
E 98.822022°		 ← 494.62 m →
244 716 m²		 S 66.116068°
E 98.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774520874023438 y=0.747238159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774520874023438 × 215)
    floor (0.774520874023438 × 32768)
    floor (25379.5)     		tx = 25379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747238159179688 × 215)
    floor (0.747238159179688 × 32768)
    floor (24485.5)     		ty = 24485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25379 / 24485 ti = "15/25379/24485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25379/24485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25379 ÷ 215
    25379 ÷ 32768     		x = 0.774505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24485 ÷ 215
    24485 ÷ 32768     		y = 0.747222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    0.54901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72476965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.49444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5533472952883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72476965} λ = 1.72476965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5533472952883))-π/2
    2×atan(0.211538704912492)-π/2
    2×0.208465451329845-π/2
    0.41693090265969-1.57079632675     		φ = -1.15386542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72476965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.822022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15386542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.111619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25379 KachelY 24485 1.72476965 -1.15386542 98.822022 -66.111619
    Oben rechts KachelX + 1 25380 KachelY 24485 1.72496140 -1.15386542 98.833008 -66.111619
    Unten links KachelX 25379 KachelY + 1 24486 1.72476965 -1.15394307 98.822022 -66.116068
    Unten rechts KachelX + 1 25380 KachelY + 1 24486 1.72496140 -1.15394307 98.833008 -66.116068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15386542--1.15394307) × R
    7.76499999999292e-05 × 6371000     		dl = 494.708149999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15386542--1.15394307) × R
    7.76499999999292e-05 × 6371000     		dr = 494.708149999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72476965-1.72496140) × cos(-1.15386542) × R
    0.000191749999999935 × 0.404956181982327 × 6371000     		do = 494.710366439586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72476965-1.72496140) × cos(-1.15394307) × R
    0.000191749999999935 × 0.404885182563943 × 6371000     		du = 494.623630763361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15386542)-sin(-1.15394307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404956181982327-0.404885182563943)×R²
    abs(1.72496140-1.72476965)×7.09994183840101e-05×R²
    0.000191749999999935×7.09994183840101e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.09994183840101e-05×40589641000000     		ar = 244715.795866781m²