Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25379 / 24093
↖ ↑ ↗
← S 64.306586°
E 98.822022°		 ← 529.65 m → S 64.306586°
E 98.833008°		 →
↑
529.62 m
↓
↑
529.62 m
↓
S 64.311349°
E 98.822022°		 ← 529.56 m →
280 489 m²		 S 64.311349°
E 98.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774520874023438 y=0.735275268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774520874023438 × 215)
    floor (0.774520874023438 × 32768)
    floor (25379.5)     		tx = 25379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735275268554688 × 215)
    floor (0.735275268554688 × 32768)
    floor (24093.5)     		ty = 24093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25379 / 24093 ti = "15/25379/24093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25379/24093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25379 ÷ 215
    25379 ÷ 32768     		x = 0.774505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24093 ÷ 215
    24093 ÷ 32768     		y = 0.735260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    0.54901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72476965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.47052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47818223668405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72476965} λ = 1.72476965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47818223668405))-π/2
    2×atan(0.228051856138516)-π/2
    2×0.22421733752152-π/2
    0.448434675043039-1.57079632675     		φ = -1.12236165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72476965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.822022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12236165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.306586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25379 KachelY 24093 1.72476965 -1.12236165 98.822022 -64.306586
    Oben rechts KachelX + 1 25380 KachelY 24093 1.72496140 -1.12236165 98.833008 -64.306586
    Unten links KachelX 25379 KachelY + 1 24094 1.72476965 -1.12244478 98.822022 -64.311349
    Unten rechts KachelX + 1 25380 KachelY + 1 24094 1.72496140 -1.12244478 98.833008 -64.311349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12236165--1.12244478) × R
    8.31299999999313e-05 × 6371000     		dl = 529.621229999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12236165--1.12244478) × R
    8.31299999999313e-05 × 6371000     		dr = 529.621229999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72476965-1.72496140) × cos(-1.12236165) × R
    0.000191749999999935 × 0.433555511058391 × 6371000     		do = 529.648429362559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72476965-1.72496140) × cos(-1.12244478) × R
    0.000191749999999935 × 0.433480598884494 × 6371000     		du = 529.556913710625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12236165)-sin(-1.12244478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433555511058391-0.433480598884494)×R²
    abs(1.72496140-1.72476965)×7.49121738961023e-05×R²
    0.000191749999999935×7.49121738961023e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.49121738961023e-05×40589641000000     		ar = 280488.818471541m²