Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25377 / 24542
↖ ↑ ↗
← S 66.363947°
E 98.800049°		 ← 489.79 m → S 66.363947°
E 98.811035°		 →
↑
489.74 m
↓
↑
489.74 m
↓
S 66.368351°
E 98.800049°		 ← 489.70 m →
239 846 m²		 S 66.368351°
E 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774459838867188 y=0.748977661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774459838867188 × 215)
    floor (0.774459838867188 × 32768)
    floor (25377.5)     		tx = 25377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748977661132812 × 215)
    floor (0.748977661132812 × 32768)
    floor (24542.5)     		ty = 24542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25377 / 24542 ti = "15/25377/24542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25377/24542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25377 ÷ 215
    25377 ÷ 32768     		x = 0.774444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24542 ÷ 215
    24542 ÷ 32768     		y = 0.74896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774444580078125 × 2 - 1) × π
    0.54888916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72438615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56427690840167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72438615} λ = 1.72438615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56427690840167))-π/2
    2×atan(0.209239257634129)-π/2
    2×0.206263472211538-π/2
    0.412526944423076-1.57079632675     		φ = -1.15826938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72438615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15826938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.363947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25377 KachelY 24542 1.72438615 -1.15826938 98.800049 -66.363947
    Oben rechts KachelX + 1 25378 KachelY 24542 1.72457790 -1.15826938 98.811035 -66.363947
    Unten links KachelX 25377 KachelY + 1 24543 1.72438615 -1.15834625 98.800049 -66.368351
    Unten rechts KachelX + 1 25378 KachelY + 1 24543 1.72457790 -1.15834625 98.811035 -66.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15826938--1.15834625) × R
    7.68700000000067e-05 × 6371000     		dl = 489.738770000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15826938--1.15834625) × R
    7.68700000000067e-05 × 6371000     		dr = 489.738770000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72438615-1.72457790) × cos(-1.15826938) × R
    0.000191750000000157 × 0.400925568390469 × 6371000     		do = 489.786410674758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72438615-1.72457790) × cos(-1.15834625) × R
    0.000191750000000157 × 0.400855145781784 × 6371000     		du = 489.7003796519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15826938)-sin(-1.15834625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400925568390469-0.400855145781784)×R²
    abs(1.72457790-1.72438615)×7.04226086855053e-05×R²
    0.000191750000000157×7.04226086855053e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.04226086855053e-05×40589641000000     		ar = 239846.32808107m²