Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25376 / 24478
↖ ↑ ↗
← S 66.080457°
E 98.789063°		 ← 495.29 m → S 66.080457°
E 98.800049°		 →
↑
495.28 m
↓
↑
495.28 m
↓
S 66.084911°
E 98.789063°		 ← 495.21 m →
245 287 m²		 S 66.084911°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774429321289062 y=0.747024536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774429321289062 × 215)
    floor (0.774429321289062 × 32768)
    floor (25376.5)     		tx = 25376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747024536132812 × 215)
    floor (0.747024536132812 × 32768)
    floor (24478.5)     		ty = 24478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25376 / 24478 ti = "15/25376/24478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25376/24478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25376 ÷ 215
    25376 ÷ 32768     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24478 ÷ 215
    24478 ÷ 32768     		y = 0.74700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55200506209894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55200506209894))-π/2
    2×atan(0.211822829821346)-π/2
    2×0.208737390962892-π/2
    0.417474781925784-1.57079632675     		φ = -1.15332154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15332154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.080457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25376 KachelY 24478 1.72419441 -1.15332154 98.789063 -66.080457
    Oben rechts KachelX + 1 25377 KachelY 24478 1.72438615 -1.15332154 98.800049 -66.080457
    Unten links KachelX 25376 KachelY + 1 24479 1.72419441 -1.15339928 98.789063 -66.084911
    Unten rechts KachelX + 1 25377 KachelY + 1 24479 1.72438615 -1.15339928 98.800049 -66.084911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15332154--1.15339928) × R
    7.77399999998263e-05 × 6371000     		dl = 495.281539998893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15332154--1.15339928) × R
    7.77399999998263e-05 × 6371000     		dr = 495.281539998893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72438615) × cos(-1.15332154) × R
    0.000191739999999996 × 0.405453411177863 × 6371000     		do = 495.29196970443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72438615) × cos(-1.15339928) × R
    0.000191739999999996 × 0.405382346597455 × 6371000     		du = 495.205158951243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15332154)-sin(-1.15339928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405453411177863-0.405382346597455)×R²
    abs(1.72438615-1.72419441)×7.106458040812e-05×R²
    0.000191739999999996×7.106458040812e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.106458040812e-05×40589641000000     		ar = 245287.471746131m²