Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25371 / 24310
↖ ↑ ↗
← S 65.321005°
E 98.734131°		 ← 510.08 m → S 65.321005°
E 98.745117°		 →
↑
510.06 m
↓
↑
510.06 m
↓
S 65.325592°
E 98.734131°		 ← 509.99 m →
260 148 m²		 S 65.325592°
E 98.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774276733398438 y=0.741897583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774276733398438 × 215)
    floor (0.774276733398438 × 32768)
    floor (25371.5)     		tx = 25371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741897583007812 × 215)
    floor (0.741897583007812 × 32768)
    floor (24310.5)     		ty = 24310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25371 / 24310 ti = "15/25371/24310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25371/24310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25371 ÷ 215
    25371 ÷ 32768     		x = 0.774261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24310 ÷ 215
    24310 ÷ 32768     		y = 0.74188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774261474609375 × 2 - 1) × π
    0.54852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72323567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.4837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51979146555426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72323567} λ = 1.72323567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51979146555426))-π/2
    2×atan(0.218757500670187)-π/2
    2×0.215364857828442-π/2
    0.430729715656883-1.57079632675     		φ = -1.14006661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72323567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14006661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.321005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25371 KachelY 24310 1.72323567 -1.14006661 98.734131 -65.321005
    Oben rechts KachelX + 1 25372 KachelY 24310 1.72342742 -1.14006661 98.745117 -65.321005
    Unten links KachelX 25371 KachelY + 1 24311 1.72323567 -1.14014667 98.734131 -65.325592
    Unten rechts KachelX + 1 25372 KachelY + 1 24311 1.72342742 -1.14014667 98.745117 -65.325592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14006661--1.14014667) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dl = 510.062259999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14006661--1.14014667) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dr = 510.062259999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72323567-1.72342742) × cos(-1.14006661) × R
    0.000191749999999935 × 0.417533978954816 × 6371000     		do = 510.075896899704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72323567-1.72342742) × cos(-1.14014667) × R
    0.000191749999999935 × 0.417461230192296 × 6371000     		du = 509.98702415602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14006661)-sin(-1.14014667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417533978954816-0.417461230192296)×R²
    abs(1.72342742-1.72323567)×7.27487625200585e-05×R²
    0.000191749999999935×7.27487625200585e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.27487625200585e-05×40589641000000     		ar = 260147.79956667m²