Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25371 / 24291
↖ ↑ ↗
← S 65.233705°
E 98.734131°		 ← 511.77 m → S 65.233705°
E 98.745117°		 →
↑
511.72 m
↓
↑
511.72 m
↓
S 65.238307°
E 98.734131°		 ← 511.68 m →
261 858 m²		 S 65.238307°
E 98.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774276733398438 y=0.741317749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774276733398438 × 215)
    floor (0.774276733398438 × 32768)
    floor (25371.5)     		tx = 25371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741317749023438 × 215)
    floor (0.741317749023438 × 32768)
    floor (24291.5)     		ty = 24291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25371 / 24291 ti = "15/25371/24291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25371/24291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25371 ÷ 215
    25371 ÷ 32768     		x = 0.774261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24291 ÷ 215
    24291 ÷ 32768     		y = 0.741302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774261474609375 × 2 - 1) × π
    0.54852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72323567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.48260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51614826118314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72323567} λ = 1.72323567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51614826118314))-π/2
    2×atan(0.219555932494874)-π/2
    2×0.216126698659111-π/2
    0.432253397318222-1.57079632675     		φ = -1.13854293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72323567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13854293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.233705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25371 KachelY 24291 1.72323567 -1.13854293 98.734131 -65.233705
    Oben rechts KachelX + 1 25372 KachelY 24291 1.72342742 -1.13854293 98.745117 -65.233705
    Unten links KachelX 25371 KachelY + 1 24292 1.72323567 -1.13862325 98.734131 -65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 25372 KachelY + 1 24292 1.72342742 -1.13862325 98.745117 -65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13854293--1.13862325) × R
    8.03199999999116e-05 × 6371000     		dl = 511.718719999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13854293--1.13862325) × R
    8.03199999999116e-05 × 6371000     		dr = 511.718719999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72323567-1.72342742) × cos(-1.13854293) × R
    0.000191749999999935 × 0.418918002810526 × 6371000     		do = 511.766674764776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72323567-1.72342742) × cos(-1.13862325) × R
    0.000191749999999935 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 511.677575917931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13854293)-sin(-1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418918002810526-0.41884506896623)×R²
    abs(1.72342742-1.72323567)×7.29338442959637e-05×R²
    0.000191749999999935×7.29338442959637e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.29338442959637e-05×40589641000000     		ar = 261857.791116372m²