Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25370 / 24421
↖ ↑ ↗
← S 65.825282°
E 98.723145°		 ← 500.29 m → S 65.825282°
E 98.734131°		 →
↑
500.25 m
↓
↑
500.25 m
↓
S 65.829781°
E 98.723145°		 ← 500.20 m →
250 247 m²		 S 65.829781°
E 98.734131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774246215820312 y=0.745285034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774246215820312 × 215)
    floor (0.774246215820312 × 32768)
    floor (25370.5)     		tx = 25370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745285034179688 × 215)
    floor (0.745285034179688 × 32768)
    floor (24421.5)     		ty = 24421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25370 / 24421 ti = "15/25370/24421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25370/24421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25370 ÷ 215
    25370 ÷ 32768     		x = 0.77423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24421 ÷ 215
    24421 ÷ 32768     		y = 0.745269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72304392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.49053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54107544898557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72304392} λ = 1.72304392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54107544898557))-π/2
    2×atan(0.214150669420068)-π/2
    2×0.21096421358435-π/2
    0.4219284271687-1.57079632675     		φ = -1.14886790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72304392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.723145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14886790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.825282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25370 KachelY 24421 1.72304392 -1.14886790 98.723145 -65.825282
    Oben rechts KachelX + 1 25371 KachelY 24421 1.72323567 -1.14886790 98.734131 -65.825282
    Unten links KachelX 25370 KachelY + 1 24422 1.72304392 -1.14894642 98.723145 -65.829781
    Unten rechts KachelX + 1 25371 KachelY + 1 24422 1.72323567 -1.14894642 98.734131 -65.829781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14886790--1.14894642) × R
    7.85199999999708e-05 × 6371000     		dl = 500.250919999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14886790--1.14894642) × R
    7.85199999999708e-05 × 6371000     		dr = 500.250919999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72304392-1.72323567) × cos(-1.14886790) × R
    0.000191749999999935 × 0.409520518951176 × 6371000     		do = 500.286339630956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72304392-1.72323567) × cos(-1.14894642) × R
    0.000191749999999935 × 0.40944888382162 × 6371000     		du = 500.198827345012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14886790)-sin(-1.14894642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409520518951176-0.40944888382162)×R²
    abs(1.72323567-1.72304392)×7.16351295556583e-05×R²
    0.000191749999999935×7.16351295556583e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.16351295556583e-05×40589641000000     		ar = 250246.8127421m²