Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25369 / 24300
↖ ↑ ↗
← S 65.275093°
E 98.712158°		 ← 510.97 m → S 65.275093°
E 98.723145°		 →
↑
510.95 m
↓
↑
510.95 m
↓
S 65.279689°
E 98.712158°		 ← 510.88 m →
261 057 m²		 S 65.279689°
E 98.723145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774215698242188 y=0.741592407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774215698242188 × 215)
    floor (0.774215698242188 × 32768)
    floor (25369.5)     		tx = 25369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741592407226562 × 215)
    floor (0.741592407226562 × 32768)
    floor (24300.5)     		ty = 24300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25369 / 24300 ti = "15/25369/24300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25369/24300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25369 ÷ 215
    25369 ÷ 32768     		x = 0.774200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24300 ÷ 215
    24300 ÷ 32768     		y = 0.7415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774200439453125 × 2 - 1) × π
    0.54840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72285217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72285217} λ = 1.72285217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51787398956946))-π/2
    2×atan(0.219177365335781)-π/2
    2×0.215765512409514-π/2
    0.431531024819028-1.57079632675     		φ = -1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72285217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25369 KachelY 24300 1.72285217 -1.13926530 98.712158 -65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 25370 KachelY 24300 1.72304392 -1.13926530 98.723145 -65.275093
    Unten links KachelX 25369 KachelY + 1 24301 1.72285217 -1.13934550 98.712158 -65.279689
    Unten rechts KachelX + 1 25370 KachelY + 1 24301 1.72304392 -1.13934550 98.723145 -65.279689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13926530--1.13934550) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dl = 510.954199999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13926530--1.13934550) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dr = 510.954199999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72285217-1.72304392) × cos(-1.13926530) × R
    0.000191750000000157 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 510.96523227668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72285217-1.72304392) × cos(-1.13934550) × R
    0.000191750000000157 × 0.41818911509658 × 6371000     		du = 510.876236925168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13926530)-sin(-1.13934550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.41818911509658)×R²
    abs(1.72304392-1.72285217)×7.28491258878416e-05×R²
    0.000191750000000157×7.28491258878416e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.28491258878416e-05×40589641000000     		ar = 261057.095351739m²