Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25368 / 24312
↖ ↑ ↗
← S 65.330178°
E 98.701172°		 ← 509.90 m → S 65.330178°
E 98.712158°		 →
↑
509.81 m
↓
↑
509.81 m
↓
S 65.334763°
E 98.701172°		 ← 509.81 m →
259 927 m²		 S 65.334763°
E 98.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774185180664062 y=0.741958618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774185180664062 × 215)
    floor (0.774185180664062 × 32768)
    floor (25368.5)     		tx = 25368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741958618164062 × 215)
    floor (0.741958618164062 × 32768)
    floor (24312.5)     		ty = 24312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25368 / 24312 ti = "15/25368/24312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25368/24312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25368 ÷ 215
    25368 ÷ 32768     		x = 0.774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24312 ÷ 215
    24312 ÷ 32768     		y = 0.741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72266042} λ = 1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52017496075122))-π/2
    2×atan(0.218673624303501)-π/2
    2×0.215284810638955-π/2
    0.430569621277911-1.57079632675     		φ = -1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25368 KachelY 24312 1.72266042 -1.14022671 98.701172 -65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 25369 KachelY 24312 1.72285217 -1.14022671 98.712158 -65.330178
    Unten links KachelX 25368 KachelY + 1 24313 1.72266042 -1.14030673 98.701172 -65.334763
    Unten rechts KachelX + 1 25369 KachelY + 1 24313 1.72285217 -1.14030673 98.712158 -65.334763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14022671--1.14030673) × R
    8.00199999999585e-05 × 6371000     		dl = 509.807419999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14022671--1.14030673) × R
    8.00199999999585e-05 × 6371000     		dr = 509.807419999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72266042-1.72285217) × cos(-1.14022671) × R
    0.000191749999999935 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 509.898170346282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72266042-1.72285217) × cos(-1.14030673) × R
    0.000191749999999935 × 0.417315779166132 × 6371000     		du = 509.809335473506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14022671)-sin(-1.14030673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.417315779166132)×R²
    abs(1.72285217-1.72266042)×7.27177624454955e-05×R²
    0.000191749999999935×7.27177624454955e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.27177624454955e-05×40589641000000     		ar = 259927.226487334m²