Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25367 / 24309
↖ ↑ ↗
← S 65.316417°
E 98.690186°		 ← 510.14 m → S 65.316417°
E 98.701172°		 →
↑
510.13 m
↓
↑
510.13 m
↓
S 65.321005°
E 98.690186°		 ← 510.05 m →
260 212 m²		 S 65.321005°
E 98.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774154663085938 y=0.741867065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774154663085938 × 215)
    floor (0.774154663085938 × 32768)
    floor (25367.5)     		tx = 25367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741867065429688 × 215)
    floor (0.741867065429688 × 32768)
    floor (24309.5)     		ty = 24309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25367 / 24309 ti = "15/25367/24309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25367/24309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25367 ÷ 215
    25367 ÷ 32768     		x = 0.774139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24309 ÷ 215
    24309 ÷ 32768     		y = 0.741851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774139404296875 × 2 - 1) × π
    0.54827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72246868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.48370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72246868} λ = 1.72246868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51959971795578))-π/2
    2×atan(0.218799450917392)-π/2
    2×0.215404891884712-π/2
    0.430809783769424-1.57079632675     		φ = -1.13998654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72246868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13998654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.316417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25367 KachelY 24309 1.72246868 -1.13998654 98.690186 -65.316417
    Oben rechts KachelX + 1 25368 KachelY 24309 1.72266042 -1.13998654 98.701172 -65.316417
    Unten links KachelX 25367 KachelY + 1 24310 1.72246868 -1.14006661 98.690186 -65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 25368 KachelY + 1 24310 1.72266042 -1.14006661 98.701172 -65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13998654--1.14006661) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dl = 510.125970000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13998654--1.14006661) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dr = 510.125970000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72246868-1.72266042) × cos(-1.13998654) × R
    0.000191739999999996 × 0.417606734127387 × 6371000     		do = 510.138171749288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72246868-1.72266042) × cos(-1.14006661) × R
    0.000191739999999996 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 510.049295810066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13998654)-sin(-1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417606734127387-0.417533978954816)×R²
    abs(1.72266042-1.72246868)×7.27551725717146e-05×R²
    0.000191739999999996×7.27551725717146e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.27551725717146e-05×40589641000000     		ar = 260212.0608749m²