Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25366 / 24283
↖ ↑ ↗
← S 65.196860°
E 98.679199°		 ← 512.48 m → S 65.196860°
E 98.690186°		 →
↑
512.42 m
↓
↑
512.42 m
↓
S 65.201468°
E 98.679199°		 ← 512.39 m →
262 582 m²		 S 65.201468°
E 98.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774124145507812 y=0.741073608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774124145507812 × 215)
    floor (0.774124145507812 × 32768)
    floor (25366.5)     		tx = 25366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741073608398438 × 215)
    floor (0.741073608398438 × 32768)
    floor (24283.5)     		ty = 24283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25366 / 24283 ti = "15/25366/24283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25366/24283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25366 ÷ 215
    25366 ÷ 32768     		x = 0.77410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24283 ÷ 215
    24283 ÷ 32768     		y = 0.741058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77410888671875 × 2 - 1) × π
    0.5482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72227693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741058349609375 × 2 - 1) × π
    -0.48211669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51461428039529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72227693} λ = 1.72227693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51461428039529))-π/2
    2×atan(0.219892985527523)-π/2
    2×0.216448228597505-π/2
    0.432896457195009-1.57079632675     		φ = -1.13789987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72227693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13789987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.196860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25366 KachelY 24283 1.72227693 -1.13789987 98.679199 -65.196860
    Oben rechts KachelX + 1 25367 KachelY 24283 1.72246868 -1.13789987 98.690186 -65.196860
    Unten links KachelX 25366 KachelY + 1 24284 1.72227693 -1.13798030 98.679199 -65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 25367 KachelY + 1 24284 1.72246868 -1.13798030 98.690186 -65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13789987--1.13798030) × R
    8.04299999999092e-05 × 6371000     		dl = 512.419529999421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13789987--1.13798030) × R
    8.04299999999092e-05 × 6371000     		dr = 512.419529999421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72227693-1.72246868) × cos(-1.13789987) × R
    0.000191749999999935 × 0.41950183011027 × 6371000     		do = 512.479901109365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72227693-1.72246868) × cos(-1.13798030) × R
    0.000191749999999935 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 512.390706722817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13789987)-sin(-1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41950183011027-0.419428818059824)×R²
    abs(1.72246868-1.72227693)×7.30120504459641e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30120504459641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30120504459641e-05×40589641000000     		ar = 262581.857729359m²