Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25366 / 24281
↖ ↑ ↗
← S 65.187641°
E 98.679199°		 ← 512.66 m → S 65.187641°
E 98.690186°		 →
↑
512.61 m
↓
↑
512.61 m
↓
S 65.192251°
E 98.679199°		 ← 512.57 m →
262 771 m²		 S 65.192251°
E 98.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774124145507812 y=0.741012573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774124145507812 × 215)
    floor (0.774124145507812 × 32768)
    floor (25366.5)     		tx = 25366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741012573242188 × 215)
    floor (0.741012573242188 × 32768)
    floor (24281.5)     		ty = 24281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25366 / 24281 ti = "15/25366/24281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25366/24281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25366 ÷ 215
    25366 ÷ 32768     		x = 0.77410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24281 ÷ 215
    24281 ÷ 32768     		y = 0.740997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77410888671875 × 2 - 1) × π
    0.5482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72227693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72227693} λ = 1.72227693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51423078519833))-π/2
    2×atan(0.219977329603059)-π/2
    2×0.216528681068433-π/2
    0.433057362136866-1.57079632675     		φ = -1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72227693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25366 KachelY 24281 1.72227693 -1.13773896 98.679199 -65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 25367 KachelY 24281 1.72246868 -1.13773896 98.690186 -65.187641
    Unten links KachelX 25366 KachelY + 1 24282 1.72227693 -1.13781942 98.679199 -65.192251
    Unten rechts KachelX + 1 25367 KachelY + 1 24282 1.72246868 -1.13781942 98.690186 -65.192251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13773896--1.13781942) × R
    8.04599999999489e-05 × 6371000     		dl = 512.610659999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13773896--1.13781942) × R
    8.04599999999489e-05 × 6371000     		dr = 512.610659999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72227693-1.72246868) × cos(-1.13773896) × R
    0.000191749999999935 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 512.658335379511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72227693-1.72246868) × cos(-1.13781942) × R
    0.000191749999999935 × 0.41957485760138 × 6371000     		du = 512.569114358833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13773896)-sin(-1.13781942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.41957485760138)×R²
    abs(1.72246868-1.72227693)×7.30338524062013e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30338524062013e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30338524062013e-05×40589641000000     		ar = 262771.259972284m²