Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25365 / 41766
↖ ↑ ↗
← S 44.237328°
W 40.665894°		 ← 437.65 m → S 44.237328°
W 40.660400°		 →
↑
437.62 m
↓
↑
437.62 m
↓
S 44.241264°
W 40.665894°		 ← 437.62 m →
191 519 m²		 S 44.241264°
W 40.660400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387046813964844 y=0.637306213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387046813964844 × 216)
    floor (0.387046813964844 × 65536)
    floor (25365.5)     		tx = 25365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637306213378906 × 216)
    floor (0.637306213378906 × 65536)
    floor (41766.5)     		ty = 41766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25365 / 41766 ti = "16/25365/41766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25365/41766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25365 ÷ 216
    25365 ÷ 65536     		x = 0.387039184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41766 ÷ 216
    41766 ÷ 65536     		y = 0.637298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387039184570312 × 2 - 1) × π
    -0.225921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70975374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.27459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.862672445562531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70975374} λ = -0.70975374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.862672445562531))-π/2
    2×atan(0.422032714447863)-π/2
    2×0.399354647686902-π/2
    0.798709295373804-1.57079632675     		φ = -0.77208703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70975374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.665894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77208703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.237328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25365 KachelY 41766 -0.70975374 -0.77208703 -40.665894 -44.237328
    Oben rechts KachelX + 1 25366 KachelY 41766 -0.70965786 -0.77208703 -40.660400 -44.237328
    Unten links KachelX 25365 KachelY + 1 41767 -0.70975374 -0.77215572 -40.665894 -44.241264
    Unten rechts KachelX + 1 25366 KachelY + 1 41767 -0.70965786 -0.77215572 -40.660400 -44.241264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77208703--0.77215572) × R
    6.86899999999824e-05 × 6371000     		dl = 437.623989999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77208703--0.77215572) × R
    6.86899999999824e-05 × 6371000     		dr = 437.623989999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70975374--0.70965786) × cos(-0.77208703) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.71645625203946 × 6371000     		do = 437.648361913777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70975374--0.70965786) × cos(-0.77215572) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.716408330005634 × 6371000     		du = 437.619088668489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77208703)-sin(-0.77215572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71645625203946-0.716408330005634)×R²
    abs(-0.70965786--0.70975374)×4.79220338260866e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79220338260866e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79220338260866e-05×40589641000000     		ar = 191519.017095707m²