Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25365 / 24429
↖ ↑ ↗
← S 65.861250°
E 98.668213°		 ← 499.59 m → S 65.861250°
E 98.679199°		 →
↑
499.49 m
↓
↑
499.49 m
↓
S 65.865742°
E 98.668213°		 ← 499.50 m →
249 515 m²		 S 65.865742°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774093627929688 y=0.745529174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774093627929688 × 215)
    floor (0.774093627929688 × 32768)
    floor (25365.5)     		tx = 25365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745529174804688 × 215)
    floor (0.745529174804688 × 32768)
    floor (24429.5)     		ty = 24429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25365 / 24429 ti = "15/25365/24429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25365/24429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25365 ÷ 215
    25365 ÷ 32768     		x = 0.774078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24429 ÷ 215
    24429 ÷ 32768     		y = 0.745513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72208518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.49102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54260942977341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72208518} λ = 1.72208518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54260942977341))-π/2
    2×atan(0.213822418237345)-π/2
    2×0.210650334980833-π/2
    0.421300669961666-1.57079632675     		φ = -1.14949566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72208518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14949566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.861250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25365 KachelY 24429 1.72208518 -1.14949566 98.668213 -65.861250
    Oben rechts KachelX + 1 25366 KachelY 24429 1.72227693 -1.14949566 98.679199 -65.861250
    Unten links KachelX 25365 KachelY + 1 24430 1.72208518 -1.14957406 98.668213 -65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 25366 KachelY + 1 24430 1.72227693 -1.14957406 98.679199 -65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14949566--1.14957406) × R
    7.8400000000034e-05 × 6371000     		dl = 499.486400000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14949566--1.14957406) × R
    7.8400000000034e-05 × 6371000     		dr = 499.486400000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.14949566) × R
    0.000191749999999935 × 0.408947732279079 × 6371000     		do = 499.586600950446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.14957406) × R
    0.000191749999999935 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 499.499197806607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14949566)-sin(-1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408947732279079-0.408876186490223)×R²
    abs(1.72227693-1.72208518)×7.15457888557092e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15457888557092e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15457888557092e-05×40589641000000     		ar = 249514.884583501m²