Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25365 / 24279
↖ ↑ ↗
← S 65.178418°
E 98.668213°		 ← 512.84 m → S 65.178418°
E 98.679199°		 →
↑
512.80 m
↓
↑
512.80 m
↓
S 65.183030°
E 98.668213°		 ← 512.75 m →
262 961 m²		 S 65.183030°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774093627929688 y=0.740951538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774093627929688 × 215)
    floor (0.774093627929688 × 32768)
    floor (25365.5)     		tx = 25365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740951538085938 × 215)
    floor (0.740951538085938 × 32768)
    floor (24279.5)     		ty = 24279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25365 / 24279 ti = "15/25365/24279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25365/24279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25365 ÷ 215
    25365 ÷ 32768     		x = 0.774078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24279 ÷ 215
    24279 ÷ 32768     		y = 0.740936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72208518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.48187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51384729000137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72208518} λ = 1.72208518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51384729000137))-π/2
    2×atan(0.220061706030345)-π/2
    2×0.216609161549226-π/2
    0.433218323098451-1.57079632675     		φ = -1.13757800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72208518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13757800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.178418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25365 KachelY 24279 1.72208518 -1.13757800 98.668213 -65.178418
    Oben rechts KachelX + 1 25366 KachelY 24279 1.72227693 -1.13757800 98.679199 -65.178418
    Unten links KachelX 25365 KachelY + 1 24280 1.72208518 -1.13765849 98.668213 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 25366 KachelY + 1 24280 1.72227693 -1.13765849 98.679199 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13757800--1.13765849) × R
    8.04899999999886e-05 × 6371000     		dl = 512.801789999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13757800--1.13765849) × R
    8.04899999999886e-05 × 6371000     		dr = 512.801789999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.13757800) × R
    0.000191749999999935 × 0.419793987312739 × 6371000     		do = 512.83681181507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.13765849) × R
    0.000191749999999935 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 512.747564169584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13757800)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419793987312739-0.419720931666003)×R²
    abs(1.72227693-1.72208518)×7.30556467356536e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30556467356536e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30556467356536e-05×40589641000000     		ar = 262960.752042927m²