Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25365 / 24276
↖ ↑ ↗
← S 65.164579°
E 98.668213°		 ← 513.10 m → S 65.164579°
E 98.679199°		 →
↑
513.06 m
↓
↑
513.06 m
↓
S 65.169193°
E 98.668213°		 ← 513.02 m →
263 229 m²		 S 65.169193°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774093627929688 y=0.740859985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774093627929688 × 215)
    floor (0.774093627929688 × 32768)
    floor (25365.5)     		tx = 25365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740859985351562 × 215)
    floor (0.740859985351562 × 32768)
    floor (24276.5)     		ty = 24276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25365 / 24276 ti = "15/25365/24276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25365/24276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25365 ÷ 215
    25365 ÷ 32768     		x = 0.774078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24276 ÷ 215
    24276 ÷ 32768     		y = 0.7408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72208518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72208518} λ = 1.72208518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51327204720593))-π/2
    2×atan(0.220188331357953)-π/2
    2×0.21672993480568-π/2
    0.43345986961136-1.57079632675     		φ = -1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72208518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25365 KachelY 24276 1.72208518 -1.13733646 98.668213 -65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 25366 KachelY 24276 1.72227693 -1.13733646 98.679199 -65.164579
    Unten links KachelX 25365 KachelY + 1 24277 1.72208518 -1.13741699 98.668213 -65.169193
    Unten rechts KachelX + 1 25366 KachelY + 1 24277 1.72227693 -1.13741699 98.679199 -65.169193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13733646--1.13741699) × R
    8.05299999999676e-05 × 6371000     		dl = 513.056629999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13733646--1.13741699) × R
    8.05299999999676e-05 × 6371000     		dr = 513.056629999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.13733646) × R
    0.000191749999999935 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 513.104612420479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72208518-1.72227693) × cos(-1.13741699) × R
    0.000191749999999935 × 0.419940117673209 × 6371000     		du = 513.015330399037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13733646)-sin(-1.13741699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.419940117673209)×R²
    abs(1.72227693-1.72208518)×7.30837859393429e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30837859393429e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30837859393429e-05×40589641000000     		ar = 263228.820061594m²