Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25363 / 24323
↖ ↑ ↗
← S 65.380571°
E 98.646240°		 ← 508.90 m → S 65.380571°
E 98.657226°		 →
↑
508.85 m
↓
↑
508.85 m
↓
S 65.385147°
E 98.646240°		 ← 508.81 m →
258 930 m²		 S 65.385147°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774032592773438 y=0.742294311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774032592773438 × 215)
    floor (0.774032592773438 × 32768)
    floor (25363.5)     		tx = 25363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742294311523438 × 215)
    floor (0.742294311523438 × 32768)
    floor (24323.5)     		ty = 24323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25363 / 24323 ti = "15/25363/24323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25363/24323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25363 ÷ 215
    25363 ÷ 32768     		x = 0.774017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24323 ÷ 215
    24323 ÷ 32768     		y = 0.742279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    0.54803466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72170169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.48455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5222841843345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72170169} λ = 1.72170169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5222841843345))-π/2
    2×atan(0.218212878816517)-π/2
    2×0.214845049443037-π/2
    0.429690098886075-1.57079632675     		φ = -1.14110623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72170169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14110623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.380571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25363 KachelY 24323 1.72170169 -1.14110623 98.646240 -65.380571
    Oben rechts KachelX + 1 25364 KachelY 24323 1.72189343 -1.14110623 98.657226 -65.380571
    Unten links KachelX 25363 KachelY + 1 24324 1.72170169 -1.14118610 98.646240 -65.385147
    Unten rechts KachelX + 1 25364 KachelY + 1 24324 1.72189343 -1.14118610 98.657226 -65.385147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14110623--1.14118610) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dl = 508.851769999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14110623--1.14118610) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dr = 508.851769999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72170169-1.72189343) × cos(-1.14110623) × R
    0.000191739999999996 × 0.416589091016431 × 6371000     		do = 508.895043816495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72170169-1.72189343) × cos(-1.14118610) × R
    0.000191739999999996 × 0.416516480278439 × 6371000     		du = 508.806344315022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14110623)-sin(-1.14118610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416589091016431-0.416516480278439)×R²
    abs(1.72189343-1.72170169)×7.26107379921959e-05×R²
    0.000191739999999996×7.26107379921959e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.26107379921959e-05×40589641000000     		ar = 258929.57647912m²