Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25363 / 24298
↖ ↑ ↗
← S 65.265901°
E 98.646240°		 ← 511.12 m → S 65.265901°
E 98.657226°		 →
↑
511.08 m
↓
↑
511.08 m
↓
S 65.270498°
E 98.646240°		 ← 511.03 m →
261 200 m²		 S 65.270498°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774032592773438 y=0.741531372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774032592773438 × 215)
    floor (0.774032592773438 × 32768)
    floor (25363.5)     		tx = 25363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741531372070312 × 215)
    floor (0.741531372070312 × 32768)
    floor (24298.5)     		ty = 24298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25363 / 24298 ti = "15/25363/24298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25363/24298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25363 ÷ 215
    25363 ÷ 32768     		x = 0.774017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24298 ÷ 215
    24298 ÷ 32768     		y = 0.74151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    0.54803466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72170169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.4830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5174904943725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72170169} λ = 1.72170169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5174904943725))-π/2
    2×atan(0.219261434921781)-π/2
    2×0.215845727106137-π/2
    0.431691454212273-1.57079632675     		φ = -1.13910487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72170169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13910487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.265901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25363 KachelY 24298 1.72170169 -1.13910487 98.646240 -65.265901
    Oben rechts KachelX + 1 25364 KachelY 24298 1.72189343 -1.13910487 98.657226 -65.265901
    Unten links KachelX 25363 KachelY + 1 24299 1.72170169 -1.13918509 98.646240 -65.270498
    Unten rechts KachelX + 1 25364 KachelY + 1 24299 1.72189343 -1.13918509 98.657226 -65.270498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13910487--1.13918509) × R
    8.02200000000752e-05 × 6371000     		dl = 511.081620000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13910487--1.13918509) × R
    8.02200000000752e-05 × 6371000     		dr = 511.081620000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72170169-1.72189343) × cos(-1.13910487) × R
    0.000191739999999996 × 0.418407681650722 × 6371000     		do = 511.116589652617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72170169-1.72189343) × cos(-1.13918509) × R
    0.000191739999999996 × 0.418334819741006 × 6371000     		du = 511.027583325911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13910487)-sin(-1.13918509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418407681650722-0.418334819741006)×R²
    abs(1.72189343-1.72170169)×7.28619097151717e-05×R²
    0.000191739999999996×7.28619097151717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.28619097151717e-05×40589641000000     		ar = 261199.550039973m²